Fonction exponentielle | Première générale (spécialité) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
1. Simplifier \(A = \dfrac{e^{4x}\times e^{-x}}{e^{2x}}\). (2 pts)
2. On donne \(\exp(a) = 4\) et \(\exp(b) = 3\). Calculer \(\exp(a+b)\), \(\exp(-a)\) et \(\exp(2b)\). (3 pts)
3. Expliquer pourquoi l'équation \(e^{x} = -5\) n'a pas de solution. (1 pt)
1. Numérateur : \(e^{4x}\times e^{-x} = e^{3x}\). Donc \(A = \dfrac{e^{3x}}{e^{2x}} = e^{3x-2x} = e^{x}\).
2. \(\exp(a+b) = 4\times 3 = 12\) ; \(\exp(-a) = \tfrac{1}{4}\) ; \(\exp(2b) = 3^2 = 9\).
3. Pour tout réel \(x\), \(e^x \gt 0\). Comme \(-5 \lt 0\), aucune valeur de \(x\) ne convient : pas de solution.
1. Dériver \(f(x) = 3e^{2x}\), \(g(x) = e^{-4x}\) et \(h(x) = x\,e^{x}\). (3 pts)
2. Résoudre l'équation \(e^{2x + 1} = e^{5 - x}\). (2 pts)
3. Résoudre l'inéquation \(e^{3x - 2} \le 1\). (2 pts)
1. \(f'(x) = 3\times 2\,e^{2x} = 6e^{2x}\) ; \(g'(x) = -4e^{-4x}\) ; \(h'(x) = 1\cdot e^x + x\cdot e^x = (1+x)e^x\).
2. Par injectivité : \(2x + 1 = 5 - x\), soit \(3x = 4\), d'où \(x = \tfrac{4}{3}\).
3. \(1 = e^0\), donc \(e^{3x-2} \le e^0 \iff 3x - 2 \le 0 \iff x \le \tfrac{2}{3}\). Solution : \(\left]-\infty\,;\tfrac{2}{3}\right]\).
Une culture de micro-organismes évolue selon \(N(t) = 200\,e^{0{,}15\,t}\), où \(t\) est en heures et \(N(t)\) le nombre d'individus. On prendra \(e^{1{,}5} \approx 4{,}48\).
1. Calculer la population initiale \(N(0)\). (1,5 pt)
2. Calculer \(N(10)\) et arrondir à l'unité. (2 pts)
3. Calculer \(N'(t)\) et vérifier que \(N'(t) = 0{,}15\,N(t)\). (2 pts)
4. La population est-elle croissante ? Justifier avec le signe de \(N'(t)\). (1,5 pt)
1. \(N(0) = 200\,e^{0} = 200\) individus.
2. \(N(10) = 200\,e^{0{,}15\times 10} = 200\,e^{1{,}5} \approx 200\times 4{,}48 = 896\) individus.
3. \(N'(t) = 200\times 0{,}15\,e^{0{,}15t} = 0{,}15\times 200\,e^{0{,}15t} = 0{,}15\,N(t)\). ✓
4. Comme \(N(t) \gt 0\), on a \(N'(t) = 0{,}15\,N(t) \gt 0\) : la fonction est strictement croissante, la population augmente.