Applications de la dérivation (variations et courbes) | Première générale (spécialité) | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\).
1. Calculer \(f'(x)\). (1,5 pt)
2. Vérifier que \(f'(x) = 3(x-3)(x+1)\). (1,5 pt)
3. Étudier le signe de \(f'(x)\) sur \(\mathbb{R}\). (2 pts)
4. Dresser le tableau de variations de \(f\) (avec les valeurs des extremums). (2 pts)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|
| Signe de \(f'(x)\) | ||||
| Variations de \(f\) |
5. Préciser la nature de chaque extremum local. (1 pt)
1. \(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9\).
2. \(3(x-3)(x+1) = 3(x^2 - 2x - 3) = 3x^2 - 6x - 9 = f'(x)\). ✓
3. \(f'\) est un trinôme de racines \(-1\) et \(3\), coefficient dominant \(3 \gt 0\) : \(f'(x) \gt 0\) sur \(]-\infty\,;-1[\cup]3\,;+\infty[\), \(f'(x) \lt 0\) sur \(]-1\,;3[\).
4. \(f\) croissante sur \(]-\infty\,;-1]\), décroissante sur \([-1\,;3]\), croissante sur \([3\,;+\infty[\). \(f(-1) = -1 - 3 + 9 + 2 = 7\) ; \(f(3) = 27 - 27 - 27 + 2 = -25\).
5. \(f'\) passe de \(+\) à \(-\) en \(-1\) : maximum local \(f(-1) = 7\). \(f'\) passe de \(-\) à \(+\) en \(3\) : minimum local \(f(3) = -25\).
Un éleveur dispose de \(60\) m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire adossé à un mur (le mur constitue un côté, il n'y a donc que trois côtés à grillager). On note \(x\) la longueur (en m) de chacun des deux côtés perpendiculaires au mur.
1. Exprimer la longueur du côté parallèle au mur en fonction de \(x\). (1 pt)
2. Montrer que l'aire de l'enclos est \(A(x) = 60x - 2x^2\), et donner l'intervalle des valeurs admissibles de \(x\). (2 pts)
3. Calculer \(A'(x)\) et étudier son signe. (2 pts)
4. En déduire les dimensions de l'enclos d'aire maximale et cette aire. (2 pts)
1. Le grillage total vaut \(60\) m et couvre \(x + x = 2x\) pour les deux côtés perpendiculaires ; le côté parallèle au mur mesure donc \(60 - 2x\).
2. \(A(x) = x \times (60 - 2x) = 60x - 2x^2\). Il faut \(x \gt 0\) et \(60 - 2x \gt 0\), soit \(0 \lt x \lt 30\).
3. \(A'(x) = 60 - 4x\), qui s'annule en \(x = 15\). \(A'(x) \gt 0\) sur \(]0\,;15[\), \(A'(x) \lt 0\) sur \(]15\,;30[\) : \(A'\) passe de \(+\) à \(-\), donc maximum en \(x = 15\).
4. Dimensions : côtés perpendiculaires \(15\) m, côté parallèle \(60 - 30 = 30\) m. Aire maximale \(A(15) = 15 \times 30 = 450\ \text{m}^2\).
1. La fonction \(f(x) = x^4 - 2x^2 + 3\) est-elle paire, impaire, ou ni l'une ni l'autre ? Justifier. (2 pts)
2. Soit \(f(x) = x^2\) et \(g(x) = 2x - 1\). Étudier le signe de \(d(x) = f(x) - g(x)\) et en déduire la position relative des deux courbes. (3 pts)
1. Domaine \(\mathbb{R}\) (symétrique). \(f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 3 = x^4 - 2x^2 + 3 = f(x)\) : la fonction est paire (sa courbe est symétrique par rapport à l'axe \((Oy)\)).
2. \(d(x) = x^2 - (2x - 1) = x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2 \ge 0\) pour tout \(x\), avec \(d(x) = 0\) seulement en \(x = 1\). Donc \(\mathcal{C}_f\) est toujours au-dessus de \(\mathcal{C}_g\) (elles sont tangentes en \(x = 1\)).