Devoir Surveillé – Chapitre 4

Dérivation | Première générale (spécialité) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : \(f'(a) = \displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) ; tangente : \(y = f(a) + f'(a)(x-a)\) ; \((x^n)'=n x^{n-1}\), \(\left(\tfrac1x\right)'=-\tfrac1{x^2}\), \((\sqrt x)'=\tfrac1{2\sqrt x}\) ; \((uv)'=u'v+uv'\), \(\left(\tfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\).

Exercice 1 — Nombre dérivé et tangente (7 points)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^2 - 2x\).

1. Calculer et simplifier le taux de variation de \(f\) entre \(a = 3\) et \(3 + h\) (\(h \ne 0\)). (2 pts)

2. En déduire le nombre dérivé \(f'(3)\). (1,5 pt)

3. Déterminer l'équation réduite de la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(3\). (2 pts)

4. Vérifier avec la fonction dérivée \(f'(x) = 2x - 2\). (1,5 pt)

1. \(\dfrac{f(3+h) - f(3)}{h} = \dfrac{(3+h)^2 - 2(3+h) - 3}{h} = \dfrac{9 + 6h + h^2 - 6 - 2h - 3}{h} = \dfrac{4h + h^2}{h} = 4 + h\).

2. Quand \(h \to 0\), le taux tend vers \(4\), donc \(f'(3) = 4\).

3. \(f(3) = 9 - 6 = 3\) et \(f'(3) = 4\). \(T : y = 3 + 4(x - 3) = 4x - 9\).

4. \(f'(x) = 2x - 2\) donne \(f'(3) = 6 - 2 = 4\). ✓ On retrouve la même valeur.

Exercice 2 — Calculs de dérivées (7 points)

Dériver chacune des fonctions suivantes (préciser \(u\), \(v\), \(u'\), \(v'\) le cas échéant).

1. \(f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1\). (1,5 pt)

2. \(g(x) = (2x - 1)(x^2 + 3)\). (2,5 pts)

3. \(h(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}\) sur \(]-2\,;+\infty[\). (3 pts)

1. \(f'(x) = 6x^2 - 10x + 4\).

2. \(u = 2x - 1\) (\(u' = 2\)), \(v = x^2 + 3\) (\(v' = 2x\)). \(g'(x) = 2(x^2 + 3) + (2x - 1)(2x) = 2x^2 + 6 + 4x^2 - 2x = 6x^2 - 2x + 6\).

3. \(u = 3x - 1\) (\(u' = 3\)), \(v = x + 2\) (\(v' = 1\)). \(h'(x) = \dfrac{3(x+2) - (3x-1)}{(x+2)^2} = \dfrac{3x + 6 - 3x + 1}{(x+2)^2} = \dfrac{7}{(x+2)^2}\).

Exercice 3 — Étude d'une fonction (6 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\).

1. Calculer \(f'(x)\). (1,5 pt)

2. Déterminer les abscisses des points de \(\mathcal{C}_f\) où la tangente est horizontale. (2,5 pts)

3. Déterminer l'équation de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(a = 1\). (2 pts)

1. \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\).

2. Tangente horizontale \(\iff f'(x) = 0 \iff 3x^2 - 12x + 9 = 0 \iff x^2 - 4x + 3 = 0\). Discriminant \(\Delta = 16 - 12 = 4\), racines \(x = \dfrac{4 \pm 2}{2}\), soit \(x = 1\) ou \(x = 3\). Les abscisses cherchées sont \(1\) et \(3\).

3. \(f(1) = 1 - 6 + 9 = 4\) et \(f'(1) = 3 - 12 + 9 = 0\). La tangente est horizontale : \(y = 4\).