Devoir Surveillé – Chapitre 3

Second degré | Première générale (spécialité) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : \(\Delta = b^2 - 4ac\) ; racines \(\dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\) si \(\Delta \gt 0\) ; forme canonique \(a(x-\alpha)^2 + \beta\), \(\alpha = -\dfrac{b}{2a}\) ; signe : celui de \(a\) à l'extérieur des racines ; somme-produit \(x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}\), \(x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}\).

Exercice 1 — Équations et forme canonique (8 points)

1. Résoudre \(2x^2 - 7x + 3 = 0\) à l'aide du discriminant. (2,5 pts)

2. Résoudre \(x^2 - 5x + 6 = 0\) par somme-produit. (1,5 pt)

3. Mettre \(f(x) = x^2 - 4x + 1\) sous forme canonique et donner le sommet de sa parabole. (2,5 pts)

4. \(f\) admet-elle un minimum ou un maximum ? Donner sa valeur. (1,5 pt)

1. \(\Delta = 49 - 24 = 25 \gt 0\) ; \(x = \dfrac{7 \pm 5}{4}\) → \(x_1 = 3\), \(x_2 = \dfrac12\).

2. Somme \(5\), produit \(6\) → racines \(2\) et \(3\).

3. \(x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4\), donc \(f(x) = (x-2)^2 - 3\). Sommet \(S(2\,;-3)\).

4. \(a = 1 \gt 0\) : \(f\) admet un minimum, égal à \(\beta = -3\), atteint en \(x = 2\).

Exercice 2 — Signe et inéquation (6 points)

On considère \(g(x) = -x^2 + 2x + 3\).

1. Déterminer les racines de \(g\). (2 pts)

2. Dresser le tableau de signes de \(g(x)\) sur \(\mathbb{R}\). (2 pts)

\(x\)	\(-\infty\)			\(+\infty\)
\(g(x)\)

3. En déduire l'ensemble des solutions de \(-x^2 + 2x + 3 \ge 0\). (2 pts)

1. \(\Delta = 4 + 12 = 16 \gt 0\) ; \(x = \dfrac{-2 \pm 4}{-2}\) → \(x_1 = -1\), \(x_2 = 3\). (Ou par somme-produit : somme \(2\), produit \(-3\).)

2. \(a = -1 \lt 0\) : \(g(x) \lt 0\) à l'extérieur de \([-1\,;3]\), \(g(x) \gt 0\) sur \(]-1\,;3[\), nul en \(-1\) et \(3\).

3. \(g(x) \ge 0\) entre les racines (bornes comprises) → \(S = [-1\,;3]\).

Exercice 3 — Problème d'optimisation (6 points)

Un maraîcher dispose de \(60\) m de grillage pour clôturer un enclos rectangulaire adossé à un mur (le mur remplace un côté, aucun grillage sur ce côté). On note \(x\) (en m) la largeur des deux côtés perpendiculaires au mur.

1. Montrer que la longueur parallèle au mur vaut \(60 - 2x\). (1,5 pt)

2. Exprimer l'aire \(A(x)\) de l'enclos, puis la développer. (1,5 pt)

3. Mettre \(A(x)\) sous forme canonique. (1,5 pt)

4. En déduire la valeur de \(x\) qui maximise l'aire et l'aire maximale. (1,5 pt)

1. Le grillage couvre deux largeurs \(x\) et une longueur \(L\) : \(2x + L = 60\), donc \(L = 60 - 2x\).

2. \(A(x) = x(60 - 2x) = -2x^2 + 60x\).

3. \(-2x^2 + 60x = -2(x^2 - 30x) = -2\big[(x-15)^2 - 225\big] = -2(x-15)^2 + 450\).

4. \(a = -2 \lt 0\) : aire maximale pour \(x = 15\) m, avec \(A_{\max} = 450\ \text{m}^2\) (longueur alors \(60 - 30 = 30\) m).