Devoir Surveillé – Chapitre 2

Suites numériques, modèles discrets | Première générale (spécialité) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : arithmétique \(u_{n+1} = u_n + r\), \(u_n = u_0 + nr\) ; géométrique \(u_{n+1} = q\,u_n\), \(u_n = u_0\,q^n\) ; variations : signe de \(u_{n+1} - u_n\) ; \(1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}\) ; \(1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\) ; taux fixe \(t\) → \(q = 1 + t\).

Exercice 1 — Termes, variations, nature (7 points)

On considère la suite définie par \(u_0 = 4\) et \(u_{n+1} = u_n - 3\).

1. Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\). (1,5 pt)

2. Justifier que \((u_n)\) est arithmétique et donner sa raison. (1,5 pt)

3. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\), puis calculer \(u_{20}\). (2 pts)

4. Déterminer le sens de variation de la suite. (2 pts)

1. \(u_1 = 4 - 3 = 1\) ; \(u_2 = 1 - 3 = -2\) ; \(u_3 = -2 - 3 = -5\).

2. On passe d'un terme au suivant en ajoutant \(-3\) : suite arithmétique de raison \(r = -3\).

3. \(u_n = 4 - 3n\), donc \(u_{20} = 4 - 60 = -56\).

4. \(u_{n+1} - u_n = -3 \lt 0\) (ou : \(r \lt 0\)) : la suite est décroissante.

Exercice 2 — Suite géométrique et somme (7 points)

Soit \((v_n)\) géométrique de raison \(q = 3\) et de premier terme \(v_0 = 2\).

1. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\). (1,5 pt)

2. Calculer \(v_4\). (1,5 pt)

3. Préciser le sens de variation de la suite en justifiant. (2 pts)

4. Calculer la somme \(S = v_0 + v_1 + v_2 + v_3 + v_4\). (2 pts)

1. \(v_n = 2 \times 3^{\,n}\).

2. \(v_4 = 2 \times 3^4 = 2 \times 81 = 162\).

3. \(v_0 = 2 \gt 0\) et \(q = 3 \gt 1\) : la suite est croissante.

4. \(S = 2\,(1 + 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4) = 2 \times \dfrac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \times \dfrac{1 - 243}{-2} = 2 \times 121 = 242\).

Exercice 3 — Problème : modèle discret (6 points)

Une ville compte \(80\,000\) habitants en 2026. Sa population augmente de \(2\,\%\) chaque année. On note \(P_n\) la population \(n\) années après 2026, avec \(P_0 = 80\,000\).

1. Justifier que \((P_n)\) est géométrique et donner sa raison. (2 pts)

2. Exprimer \(P_n\) en fonction de \(n\), puis calculer la population prévue en 2029 (arrondir à l'unité). (2,5 pts)

3. À l'aide de la calculatrice, on obtient \(P_{10} \approx 97\,519\) et \(P_{11} \approx 99\,469\). Cette population dépassera-t-elle \(100\,000\) habitants avant 2038 ? Justifier. (1,5 pt)

1. Chaque année la population est multipliée par \(1 + 0{,}02 = 1{,}02\) : suite géométrique de raison \(q = 1{,}02\).

2. \(P_n = 80\,000 \times 1{,}02^{\,n}\). En 2029, \(n = 3\) : \(P_3 = 80\,000 \times 1{,}02^3 \approx 80\,000 \times 1{,}061208 \approx 84\,897\) habitants.

3. 2038 correspond à \(n = 12\). Or \(P_{11} \approx 99\,469 \lt 100\,000\) et \(P_{12} = P_{11} \times 1{,}02 \approx 101\,458 \ge 100\,000\). Le seuil de \(100\,000\) est atteint pour \(n = 12\), donc en 2038 : la population ne dépasse pas \(100\,000\) avant 2038.