Devoir Surveillé – Chapitre 1

Vocabulaire ensembliste et logique | Première générale (spécialité) | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Nom : Prénom : Classe : Date : Note : / 20

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : \(x\in A\cup B\) : \(x\in A\) ou \(x\in B\) ; \(x\in A\cap B\) : \(x\in A\) et \(x\in B\) ; \(x\in\overline{A}\) : \(x\in E\) et \(x\notin A\) ; De Morgan : « et » \(\leftrightarrow\) « ou » ; contraposée de \(P\Rightarrow Q\) : (non \(Q\))\(\Rightarrow\)(non \(P\)).

Exercice 1 — Ensembles et produit cartésien (7 points)

On pose \(E = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\), \(A = \{1,2,4,5,10\}\) et \(B = \{2,3,5,7\}\).

1. Compléter par \(\in\) ou \(\notin\) : \(5 \;\square\; A\) ; \(7 \;\square\; A\) ; \(10 \;\square\; B\). (1,5 pt)

2. Déterminer \(A\cap B\), \(A\cup B\) et \(\overline{A}\) (complémentaire dans \(E\)). (2,5 pts)

3. Calculer \(\operatorname{Card}(A\cup B)\) et le vérifier avec la formule du cours. (1,5 pt)

4. Soit \(C = \{a,\,b\}\). Donner \(\operatorname{Card}(B\times C)\) et écrire deux éléments de \(B\times C\). (1,5 pt)

1. \(5 \in A\) ; \(7 \notin A\) ; \(10 \notin B\).

2. \(A\cap B=\{2,5\}\) ; \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,7,10\}\) ; \(\overline{A}=\{3,6,7,8,9\}\).

3. \(\operatorname{Card}(A\cup B)=7\). Vérification : \(\operatorname{Card}(A)+\operatorname{Card}(B)-\operatorname{Card}(A\cap B)=5+4-2=7\). ✓

4. \(\operatorname{Card}(B\times C)=4\times 2=8\). Par exemple \((2\,;a)\) et \((7\,;b)\).

Exercice 2 — Logique, négation, implication (7 points)

1. Écrire la négation de « pour tout réel \(x\), \(x^2 \geqslant x\) ». Cette négation est-elle vraie ? Justifier par un exemple. (2,5 pts)

2. On considère l'implication : « si \(n\) est un multiple de \(10\), alors \(n\) est un multiple de \(5\) ».

a) Énoncer sa réciproque et dire si elle est vraie. (1,5 pt)
b) Énoncer sa contraposée. (1,5 pt)

3. Reformuler l'implication de la question 2 avec « condition nécessaire » et « condition suffisante ». (1,5 pt)

1. Négation : « il existe un réel \(x\) tel que \(x^2 \lt x\) ». Elle est vraie : par exemple \(x=0{,}5\) donne \(x^2=0{,}25 \lt 0{,}5\). (L'énoncé initial est donc faux.)

2. a) Réciproque : « si \(n\) est multiple de \(5\), alors \(n\) est multiple de \(10\) » — fausse (\(15\) est multiple de \(5\) mais pas de \(10\)).

b) Contraposée : « si \(n\) n'est pas multiple de \(5\), alors \(n\) n'est pas multiple de \(10\) » (vraie, comme l'implication de départ).

3. « \(n\) multiple de \(10\) » est une condition suffisante pour « \(n\) multiple de \(5\) » ; « \(n\) multiple de \(5\) » est une condition nécessaire pour « \(n\) multiple de \(10\) ».

Exercice 3 — Démonstrations (6 points)

1. Démontrer par disjonction des cas que, pour tout entier \(n\), le nombre \(n(n+1)\) est pair. (2,5 pts)

2. Démontrer par contraposée que, pour tout entier \(n\), si \(n^2\) est impair alors \(n\) est impair. (3,5 pts)

1. — Si \(n\) est pair : \(n\) est multiple de \(2\), donc \(n(n+1)\) l'est aussi.

— Si \(n\) est impair : \(n+1\) est pair, donc \(n(n+1)\) est multiple de \(2\).

Dans tous les cas, \(n(n+1)\) est pair.

2. Contraposée : « si \(n\) est pair, alors \(n^2\) est pair ». Si \(n=2k\), alors \(n^2 = 4k^2 = 2(2k^2)\) est pair. La contraposée est vraie, donc l'implication de départ aussi.