Développer son sens logique : comprendre, analyser et démontrer.
1. Implication et équivalence
Si P alors Q (P ⟹ Q) : si la condition P est vraie, alors Q est forcément vraie. P si et seulement si Q (P ⟺ Q) : P et Q sont vraies en même temps. Exemple : "x=2 ⟹ x²=4" est vraie. Mais "x²=4 ⟹ x=2" est fausse (x=−2 aussi).
2. Quantificateurs
∀ (pour tout) : la propriété est vraie pour toutes les valeurs. ∃ (il existe) : la propriété est vraie pour au moins une valeur. Exemple : "∀x∈ℝ, x²≥0" (vrai). "∃x : x+3=5" (vrai, x=2).
3. Négation
Assertion
Négation
P et Q
non P ou non Q
P ou Q
non P et non Q
∀x, P(x)
∃x, non P(x)
∃x, P(x)
∀x, non P(x)
4. Raisonnement par l'absurde
Pour montrer que P est vraie : 1. Supposer que P est fausse (non P). 2. Aboutir à une contradiction. 3. Conclure que P est vraie.
5. Exercices de logique
Vrai ou Faux :
a) "Si n est pair, alors n² est pair." (V/F ?)
b) "∀x∈ℝ, x+1>x" (V/F ?)
c) "∃x∈ℝ : x² = −1" (V/F ?)
a) Vrai (si n=2k, n²=4k² pair). b) Vrai (x+1=x+1>x toujours). c) Faux (x² ≥ 0 pour tout réel).
Négation :
Écrire la négation de : "Tous les techniciens connaissent Python et utilisent Excel."
"Il existe un technicien qui ne connaît pas Python ou n'utilise pas Excel."