← Retour au catalogue MA

Flexion d'une tablette de dressing

Co-intervention Maths-Sciences | Première Bac Pro MA | RDM — S4.3

Dernière mise à jour : 5 septembre 2026

Objectifs
Identification de la ressource

1. Mise en situation professionnelle

Contexte professionnel — Tablette de dressing sur mesure

Un menuisier-agenceur fabrique un dressing sur mesure. Les tablettes ont une portée de 80 cm (distance entre les deux appuis latéraux). Le client veut y ranger des piles de linge et des boîtes lourdes.

Le chef d'atelier fournit un modèle de poutre et un critère pédagogique \(L/300\) pour estimer la flèche de la tablette. Une validation réelle demanderait les caractéristiques déclarées du panneau, ses conditions d'appui, les assemblages, la durée de charge et l'environnement.
f (flèche) L = portée Charge répartie q (N/m)

2. Sollicitation de flexion

Définition — Flexion
Une pièce est sollicitée en flexion lorsqu'elle est soumise à des forces perpendiculaires à son axe, qui tendent à la courber.

En agencement, les tablettes de meubles, les étagères et les plans de travail sont couramment sollicités en flexion.
Définition — Flèche f
La flèche est la déformation maximale de la pièce sous charge, mesurée au milieu de la portée. Elle s'exprime en mm.
Critère de flèche fourni dans cette séance
Le cahier des charges des exercices fixe le critère pédagogique suivant : \[ f_{\text{adm}} = \frac{L}{300} \] où L est la portée en mm.
Exemple : pour L = 800 mm → \(f_{\text{adm}} = 800/300 = 2{,}67\) mm. Ce rapport n'est pas une règle universelle pour tous les meubles : le critère réel dépend du produit, de l'usage et du cahier des charges.

3. Formule de la flèche (charge uniformément répartie)

Formule simplifiée
Pour une tablette sur deux appuis simples, soumise à une charge uniformément répartie q : \[ f = \frac{5 \times q \times L^4}{384 \times E \times I} \] Cette relation suppose une pièce homogène, élastique, sur deux appuis simples et une charge uniformément répartie. Elle ne prend pas en compte les assemblages, le fluage, l'humidité ni la durée de chargement.
Moment quadratique d'une section rectangulaire
Pour une tablette de largeur b et d'épaisseur h : \[ I = \frac{b \times h^3}{12} \]
Données pédagogiques — modules d'Young retenus dans les exercices
Matériau E (MPa)
Aggloméré mélaminé2 500
MDF3 000
Contreplaqué bouleau8 000
Chêne massif12 000
Hêtre massif13 000
Acier210 000

Valeurs simplifiées pour les calculs de la page. Pour un dimensionnement réel, utiliser les caractéristiques déclarées du panneau ou du bois effectivement mis en œuvre.

Exemple — Tablette mélaminée 19 mm
Tablette : L = 800 mm, b = 300 mm, h = 19 mm, E = 2 500 MPa.
Charge : 30 kg de livres → P = 300 N → \(q = 300/800 = 0{,}375\) N/mm.

\(I = \dfrac{300 \times 19^3}{12} = \dfrac{300 \times 6\,859}{12} = 171\,475\) mm&sup4;

\(f = \dfrac{5 \times 0{,}375 \times 800^4}{384 \times 2\,500 \times 171\,475} = \dfrac{5 \times 0{,}375 \times 4{,}096 \times 10^{11}}{384 \times 2\,500 \times 171\,475}\)

\(f = \dfrac{7{,}68 \times 10^{11}}{1{,}647 \times 10^{11}} = 4{,}66\) mm

Limite fournie : \(f_{\text{lim}} = 800/300 = 2{,}67\) mm
4,66 mm > 2,67 mm : le critère \(L/300\) n'est pas satisfait. Le modèle permet ensuite d'étudier l'effet de l'épaisseur, du matériau ou de la portée, sans valider à lui seul une solution réelle.
Paramètres qui réduisent la flèche dans le modèle
À retenir

Exercices

Socle Exercice 1 — Calculer la flèche limite fournie (guidé)

Calculer \(f_{\text{lim}} = L/300\) pour les portées suivantes :

a) L = 600 mm : \(f_{\text{lim}} = \ldots\) mm
b) L = 900 mm : \(f_{\text{lim}} = \ldots\) mm
c) L = 1 200 mm : \(f_{\text{lim}} = \ldots\) mm
a) \(f_{\text{lim}} = 600/300 = 2{,}0\) mm
b) \(f_{\text{lim}} = 900/300 = 3{,}0\) mm
c) \(f_{\text{lim}} = 1\,200/300 = 4{,}0\) mm
Socle Exercice 2 — Calculer un moment quadratique (guidé)

Calculer le moment quadratique I pour les sections rectangulaires suivantes :

a) b = 300 mm, h = 16 mm : \(I = \dfrac{300 \times 16^3}{12} = \ldots\) mm&sup4;

b) b = 300 mm, h = 19 mm : \(I = \ldots\) mm&sup4;

c) b = 300 mm, h = 25 mm : \(I = \ldots\) mm&sup4;

d) Que constatez-vous quand l'épaisseur augmente ?
a) \(I = 300 \times 4\,096 / 12 = 102\,400\) mm&sup4;
b) \(I = 300 \times 6\,859 / 12 = 171\,475\) mm&sup4;
c) \(I = 300 \times 15\,625 / 12 = 390\,625\) mm&sup4;
d) I augmente très rapidement (car \(h^3\)). Passer de 16 à 25 mm multiplie I par 3,8 → la tablette est beaucoup plus rigide.
Socle Exercice 3 — Charge linéique q (guidé)

Calculer la charge linéique q pour les cas suivants :

a) Masse de livres : 20 kg sur une tablette de 600 mm → P = … N → q = P/L = … N/mm
b) Masse de vaisselle : 15 kg sur 800 mm → q = … N/mm
c) Masse de classeurs : 40 kg sur 1 000 mm → q = … N/mm
a) P = 200 N → q = 200/600 = 0,333 N/mm
b) P = 150 N → q = 150/800 = 0,188 N/mm
c) P = 400 N → q = 400/1000 = 0,400 N/mm
Socle Exercice 4 — Comparer une flèche à la limite fournie (guidé)

On a calculé la flèche d'une tablette : f = 3,2 mm. La portée est L = 900 mm.
  1. Calculer \(f_{\text{lim}} = L/300\).
  2. Comparer f et \(f_{\text{lim}}\).
  3. Le critère de l'exercice est-il satisfait ?
  1. \(f_{\text{lim}} = 900/300 = 3{,}0\) mm
  2. \(f = 3{,}2\) mm > \(f_{\text{lim}} = 3{,}0\) mm
  3. Non, le critère fourni n'est pas satisfait. Cette conclusion reste limitée au modèle.
Standard Exercice 5 — Calcul complet d'une tablette de dressing

Une tablette d'aggloméré mélaminé d'un dressing a les caractéristiques suivantes :
• Portée : L = 600 mm   • Largeur : b = 500 mm   • Épaisseur : h = 19 mm
• Module d'Young : E = 2 500 MPa   • Charge : 25 kg de vêtements
  1. Calculer q, I et f.
  2. Calculer \(f_{\text{lim}}\).
  3. Le critère fourni est-il satisfait ?
  1. q = 250/600 = 0,417 N/mm
    I = 500 × 19³ / 12 = 500 × 6 859 / 12 = 285 792 mm&sup4;
    f = (5 × 0,417 × 600&sup4;) / (384 × 2 500 × 285 792)
    f = (5 × 0,417 × 1,296 × 10¹¹) / (384 × 2 500 × 285 792)
    f = 2,702 × 10¹¹ / 2,744 × 10¹¹ = 0,98 mm
  2. \(f_{\text{lim}} = 600/300 = 2{,}0\) mm
  3. 0,98 < 2,0 : le critère fourni est satisfait.
Standard Exercice 6 — Comparer deux épaisseurs

On reprend la tablette de la mise en situation (L = 800 mm, b = 300 mm, E = 2 500 MPa, charge = 30 kg).
  1. Calculer la flèche pour h = 19 mm (déjà fait dans le cours : f ≈ 4,66 mm).
  2. Calculer la flèche pour h = 25 mm.
  3. L'épaisseur 25 mm respecte-t-elle le critère L/300 ?
  4. De combien de fois la flèche a-t-elle diminué en passant de 19 à 25 mm ?
  1. f = 4,66 mm (cf. cours)
  2. I = 300 × 25³ / 12 = 390 625 mm&sup4;
    q = 300/800 = 0,375 N/mm
    f = (5 × 0,375 × 800&sup4;) / (384 × 2 500 × 390 625) = 7,68 × 10¹¹ / 3,75 × 10¹¹ = 2,05 mm
  3. \(f_{\text{lim}} = 800/300 = 2{,}67\) mm. 2,05 < 2,67 : le critère fourni est satisfait.
  4. Rapport : 4,66 / 2,05 = 2,27. La flèche a diminué de 2,3 fois en augmentant l'épaisseur de 6 mm.
Standard Exercice 7 — Changer de matériau pour gagner en rigidité

Une tablette de L = 1 000 mm, b = 400 mm, h = 19 mm supporte 20 kg. On compare trois matériaux :

Matériau E (MPa) f (mm) Critère \(L/300\) ?
Aggloméré2 500……
Contreplaqué8 000……
Chêne massif12 000……
I = 400 × 19³ / 12 = 228 633 mm&sup4;   q = 200/1000 = 0,2 N/mm   \(f_{\text{lim}} = 1000/300 = 3{,}33\) mm

Aggloméré : f = (5 × 0,2 × 10¹²) / (384 × 2 500 × 228 633) = 10¹² / 2,195 × 10¹¹ = 4,55 mm → NON
Contreplaqué : f = 10¹² / (384 × 8 000 × 228 633) = 10¹² / 7,024 × 10¹¹ = 1,42 mm → OUI
Chêne : f = 10¹² / (384 × 12 000 × 228 633) = 10¹² / 1,054 × 10¹² = 0,95 mm → OUI

Dans ce modèle, seul l'aggloméré ne satisfait pas le critère \(L/300\).
Approfondissement Exercice 8 — Portée limite dans le modèle

Un fabricant de mobilier veut déterminer la portée maximale d'une tablette mélaminée 19 mm (b = 300 mm, E = 2 500 MPa) chargée à 25 kg/m linéaire (q = 0,25 N/mm).
  1. Écrire la condition \(f \leq f_{\text{adm}}\) en remplaçant par les formules.
  2. Simplifier pour obtenir une inégalité sur \(L^3\).
  3. En déduire \(L_{\max}\).
  1. \(\dfrac{5qL^4}{384EI} \leq \dfrac{L}{300}\)
  2. Simplifier par L : \(\dfrac{5qL^3}{384EI} \leq \dfrac{1}{300}\)
    \(L^3 \leq \dfrac{384EI}{5q \times 300} = \dfrac{384 \times 2\,500 \times 171\,475}{5 \times 0{,}25 \times 300}\)
    \(L^3 \leq \dfrac{1{,}647 \times 10^{11}}{375} = 4{,}39 \times 10^8\) mm³
  3. \(L \leq \sqrt[3]{4{,}39 \times 10^8} \approx 760\) mm
    Portée limite selon les hypothèses et le critère fournis : 760 mm (≈ 76 cm).
Approfondissement Exercice 9 — Ajout d'un montant central

Une bibliothèque a une tablette mélaminée de portée totale 1 200 mm (b = 300 mm, h = 19 mm, E = 2 500 MPa). La charge est de 40 kg de livres.
  1. Calculer la flèche sans montant central (L = 1 200 mm). Le critère pédagogique \(L/300\) est-il satisfait ?
  2. On ajoute un montant central. La portée de chaque travée passe à L = 600 mm et la charge se répartit en deux (20 kg par travée). Calculer la nouvelle flèche.
  3. De combien de fois la flèche a-t-elle diminué ?
  4. Expliquer pourquoi diviser la portée par 2 divise la flèche par bien plus que 2.
I = 171 475 mm&sup4;
  1. q = 400/1200 = 0,333 N/mm. f = (5 × 0,333 × 1200&sup4;) / (384 × 2500 × 171475)
    = (5 × 0,333 × 2,074 × 10¹²) / (1,647 × 10¹¹) = 3,452 × 10¹² / 1,647 × 10¹¹ = 20,9 mm
    f_lim = 1200/300 = 4,0 mm → 20,9 >> 4,0 : le critère n'est pas satisfait.
  2. q = 200/600 = 0,333 N/mm. f = (5 × 0,333 × 600&sup4;) / (384 × 2500 × 171475)
    = (5 × 0,333 × 1,296 × 10¹¹) / (1,647 × 10¹¹) = 2,157 × 10¹¹ / 1,647 × 10¹¹ = 1,31 mm
    f_lim = 600/300 = 2,0 mm → 1,31 < 2,0 : le critère est satisfait.
  3. 20,9 / 1,31 = 16 fois moins de flèche !
  4. La flèche dépend de \(L^4\). Diviser L par 2 → divise \(L^4\) par \(2^4 = 16\). C'est pourquoi un simple montant central améliore radicalement la rigidité.
Approfondissement Exercice 10 — Renfort par tasseau — section composée

Pour comprendre l'effet géométrique d'un renfort, on modélise la tablette et le tasseau comme un même matériau homogène, parfaitement collé. La tablette mesure 300 × 19 mm et le tasseau placé dessous 20 × 40 mm. L'axe neutre de la section composée a déjà été déterminé : il se situe à 45,87 mm au-dessus du bas du tasseau.

On utilisera le théorème de Huygens-Steiner : \(I_{\text{déplacé}} = I_G + A d^2\). Données :
• tablette : \(I_G = 171\,475\) mm&sup4;, \(A = 5\,700\) mm², \(d = 3{,}63\) mm ;
• tasseau : \(I_G = 106\,667\) mm&sup4;, \(A = 800\) mm², \(d = 25{,}87\) mm.
  1. Calculer la contribution de la tablette par rapport à l'axe neutre : \(I_1 = I_G + A d^2\).
  2. Calculer de même la contribution du tasseau \(I_2\).
  3. Calculer \(I_{\text{composé}} = I_1 + I_2\), puis le comparer à \(I_{\text{tablette seule}}\).
  4. Expliquer pourquoi la qualité du collage et la différence de matériau empêchent d'utiliser directement ce résultat sur un meuble réel.
  1. Tablette : \(I_1 = 171\,475 + 5\,700 \times 3{,}63^2 \approx \mathbf{246\,600}\) mm&sup4;.
  2. Tasseau : \(I_2 = 106\,667 + 800 \times 25{,}87^2 \approx \mathbf{642\,100}\) mm&sup4;.
  3. \(I_{\text{composé}} \approx 246\,600 + 642\,100 = \mathbf{888\,700}\) mm&sup4;. Dans ce modèle homogène et parfaitement lié, c'est environ \(888\,700/171\,475 \approx \mathbf{5{,}2}\) fois le moment quadratique de la tablette seule. Le décalage du tasseau par rapport à l'axe neutre explique l'essentiel du gain.
  4. Un collage imparfait autorise un glissement entre les pièces. De plus, une tablette agglomérée et un tasseau en bois n'ont pas le même module d'Young : il faut alors raisonner sur la rigidité \(EI\) d'une section composite et sur la liaison. Le résultat 5,2 n'est donc pas un coefficient directement utilisable pour dimensionner un meuble.
Source et positionnement — vérifiés le 5 septembre 2026
Le programme de physique-chimie de Première professionnelle (BO spécial n° 1 du 6 février 2020) traite l'équilibre en rotation dans le groupement 3. La flexion et le calcul de section composée constituent ici un apport professionnel MA, rattaché au référentiel du baccalauréat professionnel Technicien menuisier-agenceur (S4.3 et C2.12) : les formules et toutes les données nécessaires sont donc fournies. Cette page ne remplace pas une note de calcul ni la documentation technique d'un produit.
Imprimer / Générer un PDF