⚡ Automatismes – Terminale Bac Pro

🧭 Vecteurs

Mise à jour : 17 avril 2026

Objectif : Calculer des coordonnées de vecteurs, additionner des vecteurs, utiliser la relation de Chasles et le produit par un scalaire. Réponse attendue en moins de 90 secondes.
📋 Rappel des notions essentielles
🟢 Niveau 1 — Bases

Q1. A(1 ; 2) et B(4 ; 6). Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).

Q2. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}\). Calculer \(\vec{u} + \vec{v}\).

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\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 2+3 \\ -1+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}\)

Q3. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). Calculer \(2\vec{u}\).

Q4. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}\). Quel est le vecteur opposé \(-\vec{u}\) ?

Q5. Flash-calcul : donner les coordonnées de chaque vecteur.
a) A(0 ; 0) et B(3 ; −2) : \(\overrightarrow{AB}\) = ?
b) M(5 ; 1) et N(2 ; 4) : \(\overrightarrow{MN}\) = ?
c) P(−1 ; 3) et Q(2 ; 3) : \(\overrightarrow{PQ}\) = ?

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a) \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3-0 \\ -2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\)
b) \(\overrightarrow{MN} = \begin{pmatrix} 2-5 \\ 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}\)
c) \(\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 2-(-1) \\ 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) (vecteur horizontal)

Q6. C(2 ; 5) et D(−1 ; 3). Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{CD}\).

Q7. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}\). Calculer la norme \(\|\vec{u}\|\).

Q8. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}\). Calculer \(\vec{u} + \vec{v}\), puis \(3\vec{v}\).

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\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} -2+1 \\ 4+(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)
\(3\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \times 1 \\ 3 \times (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -9 \end{pmatrix}\)
🔵 Niveau 2 — Entraînement

Q1. Relation de Chasles : simplifier \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\).

Q2. Simplifier \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}\).

Q3. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \end{pmatrix}\). Calculer \(\vec{u} - \vec{v}\).

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\(\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) = \begin{pmatrix} 2-(-1) \\ 3-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}\)

Q4. A(1 ; 2) et B(5 ; 8). Calculer \(\overrightarrow{AB}\), puis trouver le milieu I de [AB].

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\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 8-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \end{pmatrix}\)
Milieu I : \(x_I = \dfrac{1+5}{2} = 3\)   \(y_I = \dfrac{2+8}{2} = 5\)
I(3 ; 5)

Q5. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\). Calculer la norme \(\|\vec{u}\|\).

Q6. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -6 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}\). Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont-ils colinéaires ?

Q7. A(−2 ; 1) et B(4 ; 5). Calculer \(\overrightarrow{AB}\), puis la distance AB.

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\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4-(-2) \\ 5-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \end{pmatrix}\)
\(\text{AB} = \|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \approx 7{,}21\)

Q8. Simplifier \(\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PM}\).

🟣 Niveau 3 — Automatisation

Q1. A(2 ; 1), B(6 ; 5), C(4 ; 3). Vérifier si A, B, C sont alignés en calculant \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

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\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix}\)   \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}\)
On remarque que \(\overrightarrow{AC} = \dfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AB}\)
Les vecteurs AB et AC sont colinéaires, donc A, B, C sont bien alignés.
(C est le milieu de [AB])

Q2. \(\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}\). Les vecteurs u et v sont-ils colinéaires ?

Q3. Flash-calcul Chasles. Simplifier chaque expression :
a) \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN}\)
b) \(\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} + \overrightarrow{RS}\)
c) \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}\) (rappel : \(-\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BC}\))

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a) \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{MN}\)
b) \(\overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} + \overrightarrow{RS} = \overrightarrow{PS}\)
c) \(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)

Q4. On connaît \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}\) et A(1 ; 5). Trouver les coordonnées de B.

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\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix}\)
\(x_B = x_A + 4 = 1 + 4 = 5\)
\(y_B = y_A - 2 = 5 - 2 = 3\)
B(5 ; 3)

Q5. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\). Calculer \(2\vec{u} + 3\vec{v}\), puis sa norme.

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\(2\vec{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}\)   \(3\vec{v} = \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \end{pmatrix}\)
\(2\vec{u} + 3\vec{v} = \begin{pmatrix} 2+9 \\ -4+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ -1 \end{pmatrix}\)
Norme : \(\|\,2\vec{u} + 3\vec{v}\,\| = \sqrt{11^2 + (-1)^2} = \sqrt{121 + 1} = \sqrt{122} \approx 11{,}05\)

Q6. Un menuisier repère deux points A(1 ; 3) et B(5 ; 7) sur un plan de découpe. Un troisième point C a pour coordonnées \((3\;;\;c)\). Pour quelle valeur de \(c\) les points A, B, C sont-ils alignés ?

Q7. \(\vec{u} = \begin{pmatrix} a \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}\). Pour quelle valeur de \(a\) les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont-ils colinéaires ?

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Deux vecteurs sont colinéaires si leur déterminant est nul :
\(\det(\vec{u},\vec{v}) = a \times (-4) - 2 \times 6 = -4a - 12 = 0\)
\(-4a = 12\)
\(a = -3\)
Vérification : \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \end{pmatrix}\) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix} = -2\vec{u}\) ✓

Q8. On connaît \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix}\) et \(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \end{pmatrix}\). Calculer \(\overrightarrow{BC}\), puis sa norme.