⚡ Automatismes – Terminale Bac Pro

📐 Trigonométrie

Mise à jour : 17 avril 2026

Objectif : Maîtriser les conversions degrés/radians, connaître les valeurs remarquables de cos et sin, utiliser le cercle trigonométrique et appliquer les formules fondamentales.
📋 Formulaire

Valeurs remarquables :

Angle\(0°\)\(30°\)\(45°\)\(60°\)\(90°\)
Radians\(0\)\(\dfrac{\pi}{6}\)\(\dfrac{\pi}{4}\)\(\dfrac{\pi}{3}\)\(\dfrac{\pi}{2}\)
cos\(1\)\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(\dfrac{1}{2}\)\(0\)
sin\(0\)\(\dfrac{1}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)\(1\)
🟢 Niveau 1 — Bases

Q1. Convertir 90° en radians.

Q2. Convertir 60° en radians.

Q3. Que vaut \(\cos(0°)\) ?

Q4. Flash-calcul : donner la valeur de chaque expression à l'aide du tableau des valeurs remarquables.
a) \(\sin(30°)\)    b) \(\cos(45°)\)    c) \(\sin(90°)\)    d) \(\cos(60°)\)

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a) \(\sin(30°) = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\)
b) \(\cos(45°) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707}\)
c) \(\sin(90°) = \mathbf{1}\)
d) \(\cos(60°) = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\)

Q5. Sur le cercle trigonométrique, le point associé à l'angle \(\dfrac{\pi}{2}\) a pour coordonnées :

Q6. Convertir 180° en radians.

Q7. Que vaut \(\sin(0°)\) ?

Q8. Flash-calcul : donner la valeur de chaque expression.
a) \(\cos(90°)\)    b) \(\sin(60°)\)    c) \(\cos(30°)\)    d) \(\sin(45°)\)

Voir la réponse
a) \(\cos(90°) = \mathbf{0}\)
b) \(\sin(60°) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866}\)
c) \(\cos(30°) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866}\)
d) \(\sin(45°) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}707}\)
🔵 Niveau 2 — Entraînement

Q1. On sait que \(\sin(x) = \dfrac{3}{5}\) et que \(x \in \left[0\;;\;\dfrac{\pi}{2}\right]\). Que vaut \(\cos(x)\) ?

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On utilise \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\) :
\(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) = 1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\)
Comme \(x \in \left[0\;;\;\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(\cos(x) \geq 0\), donc :
\(\cos(x) = \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \mathbf{\dfrac{4}{5} = 0{,}8}\)

Q2. Résoudre sur \([0°\;;\;360°]\) : \(\cos(x) = \dfrac{1}{2}\).

Q3. Calculer \(\tan(45°)\).

Q4. Un angle mesure \(\dfrac{5\pi}{6}\) rad. Quelle est sa mesure en degrés ?

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\(\dfrac{5\pi}{6} \times \dfrac{180°}{\pi} = \dfrac{5 \times 180°}{6} = \dfrac{900°}{6} = \mathbf{150°}\)

Q5. On sait que \(\cos(x) = \dfrac{5}{13}\) et \(x \in \left[0\;;\;\dfrac{\pi}{2}\right]\). Calculer \(\sin(x)\) puis \(\tan(x)\).

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Calcul de sin(x) :
\(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}\)
Comme \(x \in \left[0\;;\;\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(\sin(x) \geq 0\), donc \(\sin(x) = \mathbf{\dfrac{12}{13}}\).

Calcul de tan(x) :
\(\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = \dfrac{12/13}{5/13} = \mathbf{\dfrac{12}{5} = 2{,}4}\)

Q6. Résoudre sur \([0°\;;\;360°]\) : \(\sin(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\).

Q7. Calculer \(\tan(60°)\) en valeur exacte.

Q8. Un angle mesure \(\dfrac{2\pi}{3}\) rad. Convertir en degrés, puis donner les valeurs de \(\cos\) et \(\sin\) de cet angle.

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Conversion : \(\dfrac{2\pi}{3} \times \dfrac{180°}{\pi} = \dfrac{2 \times 180°}{3} = \mathbf{120°}\)

Valeurs : 120° = 180° − 60°, donc :
\(\cos(120°) = -\cos(60°) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}}\)
\(\sin(120°) = \sin(60°) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\)
🟣 Niveau 3 — Automatisation

Q1. Un charpentier doit tailler un chevron pour une toiture dont la pente fait un angle de 30° avec l'horizontale. La longueur horizontale (projection au sol) est de 4,50 m. Quelle est la longueur du chevron (hypoténuse) ?

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Le chevron est l'hypoténuse du triangle rectangle. La projection au sol est le côté adjacent à l'angle de 30°.
\(\cos(30°) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{4{,}50}{L}\)
\(L = \dfrac{4{,}50}{\cos(30°)} = \dfrac{4{,}50}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{4{,}50 \times 2}{\sqrt{3}} = \dfrac{9}{\sqrt{3}} = \dfrac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}\)
\(L = 3\sqrt{3} \approx 5{,}20\) m

Q2. Un menuisier agenceur installe une étagère en diagonale dans un placard. L'étagère mesure 1,20 m et fait un angle de 60° avec le fond vertical du placard. Quelle est la profondeur horizontale occupée par l'étagère ?

Q3. On sait que \(\sin(x) = \dfrac{7}{25}\) et que \(x \in \left[0\;;\;\dfrac{\pi}{2}\right]\). Calculer la valeur exacte de \(\cos(x)\) et de \(\tan(x)\).

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Calcul de cos(x) :
\(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) = 1 - \dfrac{49}{625} = \dfrac{576}{625}\)
Comme \(x \in \left[0\;;\;\dfrac{\pi}{2}\right]\), \(\cos(x) = \sqrt{\dfrac{576}{625}} = \mathbf{\dfrac{24}{25}}\)

Calcul de tan(x) :
\(\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} = \dfrac{7/25}{24/25} = \mathbf{\dfrac{7}{24} \approx 0{,}292}\)

Q4. Un artisan charpentier doit vérifier l'angle d'inclinaison d'un toit. Il mesure une hauteur sous faîtage de 2,60 m et une demi-portée (distance horizontale) de 4,50 m.
a) Calculer la tangente de l'angle d'inclinaison.
b) En déduire l'angle en degrés (arrondir au degré).
c) Calculer la longueur du rampant (hypoténuse).

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a) \(\tan(\alpha) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \dfrac{2{,}60}{4{,}50} \approx \mathbf{0{,}578}\)

b) \(\alpha = \arctan(0{,}578) \approx \mathbf{30°}\)

c) Par le théorème de Pythagore :
\(L = \sqrt{2{,}60^2 + 4{,}50^2} = \sqrt{6{,}76 + 20{,}25} = \sqrt{27{,}01} \approx \mathbf{5{,}20 \text{ m}}\)
Vérification avec le cosinus : \(L = \dfrac{4{,}50}{\cos(30°)} = \dfrac{4{,}50}{0{,}866} \approx 5{,}20\) m ✓

Q5. Flash-calcul combiné : répondre à chaque question.
a) Convertir 135° en radians.
b) Sachant que \(\cos(x) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(x \in [0°\;;\;180°]\), trouver \(x\).
c) Calculer \(\tan(30°)\) en valeur exacte.

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a) \(135° = 135 \times \dfrac{\pi}{180} = \mathbf{\dfrac{3\pi}{4}}\) rad

b) On cherche \(x \in [0°\;;\;180°]\) tel que \(\cos(x) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
On sait que \(\cos(30°) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), donc \(\cos(150°) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\).
\(\mathbf{x = 150°}\)

c) \(\tan(30°) = \dfrac{\sin(30°)}{\cos(30°)} = \dfrac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}577}\)

Q6. Un installateur thermique pose un conduit de fumée incliné à 45° par rapport à l'horizontale. La hauteur à franchir est de 3 m. Quelle est la longueur du conduit ?

Q7. Vérifier que \(\cos^2(30°) + \sin^2(30°) = 1\).

Q8. Un menuisier agenceur doit découper une pièce de bois triangulaire. Le triangle rectangle a un angle de 60° et l'hypoténuse mesure 80 cm.
a) Calculer la longueur du côté adjacent à l'angle de 60°.
b) Calculer la longueur du côté opposé à l'angle de 60°.
c) Vérifier avec le théorème de Pythagore.

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a) \(\cos(60°) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\), donc adjacent = \(80 \times \cos(60°) = 80 \times \dfrac{1}{2} = \mathbf{40 \text{ cm}}\)

b) \(\sin(60°) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\), donc opposé = \(80 \times \sin(60°) = 80 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \mathbf{40\sqrt{3} \approx 69{,}3 \text{ cm}}\)

c) Vérification : \(40^2 + (40\sqrt{3})^2 = 1\,600 + 4\,800 = 6\,400 = 80^2\) ✓