Automatismes – Terminale Bac Pro

🔄 Suites géométriques

Mise à jour : 28 avril 2026

Objectif : Maîtriser les suites géométriques : identifier la raison, calculer un terme, utiliser la formule de la somme, étudier la convergence et appliquer aux intérêts composés.

📋 Formulaire – Suites géométriques

\(u_{n+1}=q\times u_n\)Définition (chaque terme = précédent × raison \(q\))

\(u_n=u_1\times q^{n-1}\)Terme général (ou \(u_n=u_0\times q^n\) si on part de \(u_0\))

\(S_n=u_1\times\dfrac{1-q^n}{1-q}\) si \(q\neq 1\)Somme des \(n\) premiers termes

Si \(|q|<1\) : converge vers 0Convergence

Si \(q>1\) : diverge vers \(+\infty\)Divergence

Si \(0<q<1\) : suite décroissante vers 0Sens de variation

Si \(q>1\) : suite croissanteSens de variation

🟢 Niveau 1 — Bases

Q1. La suite 2, 6, 18, 54 est géométrique de raison…

Q2. Calculer \(u_4\) pour \(u_1=5\) et \(q=2\).

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On utilise la formule \(u_n=u_1\times q^{n-1}\) :
\(u_4=5\times 2^{4-1}=5\times 2^3=5\times 8=\mathbf{40}\)

Q3. La suite 100, 50, 25, 12{,}5 est géométrique de raison…

Q4. Donner les 5 premiers termes de la suite géométrique \(u_1=3\), \(q=4\).

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\(u_1=3\)
\(u_2=3\times 4=12\)
\(u_3=12\times 4=48\)
\(u_4=48\times 4=192\)
\(u_5=192\times 4=768\)
Les 5 premiers termes sont : \(\mathbf{3\,;\,12\,;\,48\,;\,192\,;\,768}\)

Q5. Si \(q=0{,}8\) (donc \(|q|<1\)), la suite…

Q6. Vérifier si la suite 4, 8, 16, 32, 64 est géométrique. Donner \(q\).

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On calcule les rapports successifs :
\(\dfrac{8}{4}=2\) ; \(\dfrac{16}{8}=2\) ; \(\dfrac{32}{16}=2\) ; \(\dfrac{64}{32}=2\)
Le rapport est constant, donc la suite est géométrique de raison \(\mathbf{q=2}\).

Q7. \(u_n=1\,000\times 0{,}9^n\). Que vaut \(u_0\) ?

Q8. Flash-calcul : répondre mentalement.
a) \(u_3\) si \(u_1=10\), \(q=3\) b) Raison de 1, \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{8}\) c) \(u_1\times q^2=u_{\,?}\) d) Suite \(1,\,-2,\,4,\,-8\) : \(q=\,?\)

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a) \(u_3=u_1\times q^2=10\times 3^2=10\times 9=\mathbf{90}\)
b) \(\dfrac{1/2}{1}=\mathbf{\dfrac{1}{2}}\), la raison est \(q=\dfrac{1}{2}\)
c) \(u_1\times q^2=u_1\times q^{3-1}=\mathbf{u_3}\)
d) \(\dfrac{-2}{1}=-2\), la raison est \(\mathbf{q=-2}\)

🔵 Niveau 2 — Entraînement

Q1. Un capital de 5 000 € est placé à 3 % par an (intérêts composés). Écrire \(u_n\) le capital après \(n\) années. Calculer \(u_5\).

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Chaque année, le capital est multiplié par \(1{,}03\).
\(\mathbf{u_n=5\,000\times 1{,}03^n}\)

\(u_5=5\,000\times 1{,}03^5=5\,000\times 1{,}159\,274\ldots\approx\mathbf{5\,796{,}37\text{ €}}\)

Q2. Une machine perd 15 % de sa valeur chaque année. La raison de la suite est…

Q3. \(u_1=200\), \(q=0{,}5\). Calculer \(S_4=u_1+u_2+u_3+u_4\).

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On utilise la formule \(S_n=u_1\times\dfrac{1-q^n}{1-q}\) :
\(S_4=200\times\dfrac{1-0{,}5^4}{1-0{,}5}=200\times\dfrac{1-0{,}0625}{0{,}5}=200\times\dfrac{0{,}9375}{0{,}5}=200\times 1{,}875=\mathbf{375}\)

Q4. \(u_n=8\times 3^n\). \(u_0=8\), \(u_1=24\), \(u_2=\,?\)

Q5. Un arbre perd 20 % de ses feuilles chaque semaine en automne. Il en a 50 000 au départ. Combien en reste-t-il après 3 semaines ?

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Perdre 20 % = garder 80 %, donc \(q=0{,}8\).
\(u_3=50\,000\times 0{,}8^3=50\,000\times 0{,}512=\mathbf{25\,600\text{ feuilles}}\)

Q6. Trouver \(q\) sachant que \(u_1=4\) et \(u_4=108\).

Q7. La population de bactéries double toutes les heures. Il y en a 500 au départ. Écrire \(u_n\) et calculer \(u_8\).

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La population double chaque heure, donc \(q=2\).
\(\mathbf{u_n=500\times 2^n}\)

\(u_8=500\times 2^8=500\times 256=\mathbf{128\,000\text{ bactéries}}\)

Q8. Flash-calcul : répondre mentalement.
a) \(u_5\) si \(u_1=1\), \(q=10\) b) \(1\,000\times 0{,}9^2=\,?\) c) Somme \(1+2+4+8\) d) \(q\) si \(u_1=6\), \(u_2=18\)

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a) \(u_5=1\times 10^{5-1}=10^4=\mathbf{10\,000}\)
b) \(1\,000\times 0{,}81=\mathbf{810}\)
c) \(1+2+4+8=\mathbf{15}\)
d) \(q=\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{18}{6}=\mathbf{3}\)

🟣 Niveau 3 — Automatisation

Q1. Contexte pro — Un menuisier achète une machine à 25 000 €. Elle se déprécie de 12 % par an. Écrire \(V_n\) la valeur après \(n\) ans. Après combien d'années la valeur passe-t-elle sous 10 000 € ?

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Perdre 12 % = garder 88 %, donc \(q=0{,}88\).
\(\mathbf{V_n=25\,000\times 0{,}88^n}\)

On cherche \(n\) tel que \(25\,000\times 0{,}88^n<10\,000\), soit \(0{,}88^n<0{,}4\).
Par tâtonnement :
• \(n=7\) : \(0{,}88^7\approx 0{,}409\) → encore au-dessus
• \(n=8\) : \(0{,}88^8\approx 0{,}360\) → en dessous
Réponse : après 8 ans, la valeur passe sous 10 000 €.

Q2. Un emprunt de 10 000 € à 5 % par an. Après 3 ans sans remboursement, la dette est…

Q3. Calculer \(S=1+3+9+27+81+243\) en utilisant la formule de la somme.

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C'est une suite géométrique de premier terme \(u_1=1\), de raison \(q=3\) et de 6 termes.
\(S=1\times\dfrac{1-3^6}{1-3}=\dfrac{1-729}{-2}=\dfrac{-728}{-2}=\mathbf{364}\)

Q4. \(u_n=2\,000\times 0{,}95^n\) modélise le nombre de défauts sur une chaîne de production. Au bout de combien de périodes le nombre passe-t-il sous 1 000 ?

Q5. Contexte pro — Un installateur thermique propose un contrat d'entretien à 200 €/an augmentant de 5 % par an. Calculer le coût total sur 5 ans.

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Les coûts annuels forment une suite géométrique : \(u_1=200\), \(q=1{,}05\).
\(S_5=200\times\dfrac{1-1{,}05^5}{1-1{,}05}=200\times\dfrac{1-1{,}276\,282}{-0{,}05}=200\times\dfrac{-0{,}276\,282}{-0{,}05}\)
\(S_5=200\times 5{,}525\,6\approx\mathbf{1\,105{,}13\text{ €}}\)

Q6. La suite \(u_n=(-2)^n\) est…

Q7. Un entrepreneur place 1 000 € chaque année pendant 10 ans à 4 % composés. Quel est le capital total ?

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C'est une somme de suite géométrique (chaque versement fructifie) :
\(S=1\,000\times\dfrac{1{,}04^{10}-1}{0{,}04}\)
\(1{,}04^{10}\approx 1{,}480\,24\)
\(S=1\,000\times\dfrac{0{,}480\,24}{0{,}04}=1\,000\times 12{,}006=\mathbf{12\,006\text{ €}}\)

Q8. Flash-calcul : répondre rapidement.
a) \(5\,000\times 1{,}02^3\) arrondi à l'euro b) Raison si \(u_3=16\), \(u_1=4\) c) \(0{,}9^{10}\approx\,?\) d) Suite convergente si \(|q|\,\ldots\,1\)

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a) \(5\,000\times 1{,}02^3=5\,000\times 1{,}061\,208=\mathbf{5\,306\text{ €}}\)
b) \(u_3=u_1\times q^2\), donc \(16=4\times q^2\), \(q^2=4\), \(\mathbf{q=2}\)
c) \(0{,}9^{10}\approx\mathbf{0{,}349}\)
d) Suite convergente si \(|q|\,\mathbf{<}\,1\)