⚡ Automatismes – Terminale Bac Pro

📊 Statistiques à deux variables

Mise à jour : 28 avril 2026

Objectif : Calculer un point moyen, déterminer une droite d’ajustement affine, et utiliser cette droite pour interpoler ou extrapoler des données.
📋 Formulaire – Statistiques à deux variables
🟢 Niveau 1 — Bases

Q1. Un nuage de points montre une tendance globalement croissante. La corrélation est…

x y

Q2. Calculer le point moyen \(G\) pour les données : \(x=\{2\,;\,4\,;\,6\,;\,8\,;\,10\}\) et \(y=\{5\,;\,9\,;\,14\,;\,18\,;\,24\}\).

Voir la réponse
\(\bar{x}=\dfrac{2+4+6+8+10}{5}=\dfrac{30}{5}=\mathbf{6}\)

\(\bar{y}=\dfrac{5+9+14+18+24}{5}=\dfrac{70}{5}=\mathbf{14}\)

Donc \(\mathbf{G(6\,;\,14)}\).

Q3. La variable explicative est…

Q4. Une droite d’ajustement passe par \((0\,;\,3)\) et \((10\,;\,23)\). Déterminer son coefficient directeur \(a\) et son ordonnée à l’origine \(b\).

Voir la réponse
\(a=\dfrac{23-3}{10-0}=\dfrac{20}{10}=\mathbf{2}\)

La droite passe par \((0\,;\,3)\), donc \(b=\mathbf{3}\).

La droite d’ajustement est \(y=2x+3\).

Q5. Si la droite d’ajustement est \(y=1{,}5x+10\), l’estimation pour \(x=20\) est…

Q6. Les données vont de \(x=0\) à \(x=50\). On utilise la droite d’ajustement pour estimer \(y\) pour \(x=30\), puis pour \(x=80\). Distinguer interpolation et extrapolation.

Voir la réponse
• Pour \(x=30\) : \(30\) est dans la plage \([0\,;\,50]\), c’est une interpolation.

• Pour \(x=80\) : \(80\) est hors de la plage \([0\,;\,50]\), c’est une extrapolation.

L’extrapolation est plus risquée car le modèle peut ne plus être valable en dehors de la plage des données.

Q7. « Le point moyen appartient toujours à la droite d’ajustement. »

Q8. Flash-calcul : répondre mentalement.
a) Point moyen de \(x=\{1\,;\,3\,;\,5\}\), \(y=\{2\,;\,6\,;\,10\}\)    b) \(y=3x+5\), \(y(4)=\,?\)    c) Si \(a>0\), corrélation ?    d) \(y=-2x+100\), \(y(0)=\,?\)

Voir la réponse
a) \(\bar{x}=\dfrac{1+3+5}{3}=3\), \(\bar{y}=\dfrac{2+6+10}{3}=6\), donc \(\mathbf{G(3\,;\,6)}\)
b) \(y=3\times 4+5=12+5=\mathbf{17}\)
c) Si \(a>0\), la corrélation est positive
d) \(y=-2\times 0+100=\mathbf{100}\)
🔵 Niveau 2 — Entraînement

Q1. Données : années \(x=\{0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\}\) (depuis 2020), production \(y=\{100\,;\,115\,;\,128\,;\,143\,;\,160\}\) (tonnes).
a) Calculer le point moyen \(G\).
b) Déterminer la droite passant par \(G\) et \((0\,;\,100)\).
c) Estimer la production en 2026.

Voir la réponse
a) \(\bar{x}=\dfrac{0+1+2+3+4}{5}=\dfrac{10}{5}=2\)
\(\bar{y}=\dfrac{100+115+128+143+160}{5}=\dfrac{646}{5}=129{,}2\)
Donc \(\mathbf{G(2\,;\,129{,}2)}\).

b) La droite passe par \((0\,;\,100)\) et \(G(2\,;\,129{,}2)\).
\(a=\dfrac{129{,}2-100}{2-0}=\dfrac{29{,}2}{2}=14{,}6\)
\(b=100\) (ordonnée à l’origine).
Droite : \(\mathbf{y=14{,}6x+100}\).

c) En 2026, \(x=6\).
\(y=14{,}6\times 6+100=87{,}6+100=\mathbf{187{,}6\text{ tonnes}}\).
C’est une extrapolation (hors de la plage \([0\,;\,4]\)).

Q2. La droite d’ajustement \(y=12x+50\) modélise un coût de production. Le coefficient 12 représente…

Q3. Vérifier que le point \((5\,;\,37)\) appartient à la droite \(y=7x+2\).

Voir la réponse
On calcule \(y\) pour \(x=5\) :
\(y=7\times 5+2=35+2=37\)

On obtient bien \(37\), qui est l’ordonnée du point. Donc oui, le point \((5\,;\,37)\) appartient à la droite \(y=7x+2\).

Q4. Pour un ajustement de qualité, les points du nuage doivent être…

Q5. Contexte pro — Consommation de colle \(y\) (en kg) selon la surface \(x\) (en m²) : \(x=\{10\,;\,20\,;\,30\,;\,40\,;\,50\}\), \(y=\{2{,}5\,;\,4{,}8\,;\,7{,}2\,;\,9{,}8\,;\,12{,}1\}\).

Surface (m²) Colle (kg) 10 20 30 40 50
a) Calculer le point moyen \(G\).
b) La droite passant par \(G\) et \((10\,;\,2{,}5)\) est \(y=0{,}24x+0{,}1\). Estimer la consommation pour \(x=35\) m².

Voir la réponse
a) \(\bar{x}=\dfrac{10+20+30+40+50}{5}=\dfrac{150}{5}=30\)
\(\bar{y}=\dfrac{2{,}5+4{,}8+7{,}2+9{,}8+12{,}1}{5}=\dfrac{36{,}4}{5}=7{,}28\)
Donc \(\mathbf{G(30\,;\,7{,}28)}\).

b) Pour \(x=35\) :
\(y=0{,}24\times 35+0{,}1=8{,}4+0{,}1=\mathbf{8{,}5\text{ kg}}\).
C’est une interpolation (35 est dans la plage \([10\,;\,50]\)).

Q6. Extrapoler loin des données est…

Q7. Données de température : heure \(x=\{8\,;\,10\,;\,12\,;\,14\,;\,16\}\), température \(T=\{12\,;\,16\,;\,21\,;\,23\,;\,20\}\). Cette relation est-elle bien modélisée par une droite ? Justifier.

Voir la réponse
Non, un ajustement affine n’est pas adapté.

La température augmente de 8 h à 14 h (de 12 à 23), puis redescend à 16 h (20).

La tendance n’est pas monotone : le nuage de points ne suit pas une droite mais plutôt une courbe (parabole). Un ajustement linéaire ne rendrait pas compte de cette inversion de tendance.

Q8. Flash-calcul : répondre mentalement.
a) Point moyen de \(x=\{0\,;\,2\,;\,4\}\), \(y=\{10\,;\,16\,;\,22\}\)    b) \(y=5x+3\), \(x\) quand \(y=28\) ?    c) Pente de la droite passant par \((2\,;\,8)\) et \((6\,;\,20)\)    d) \(b\) si la droite passe par \(G(3\,;\,15)\) et \(a=4\)

Voir la réponse
a) \(\bar{x}=\dfrac{0+2+4}{3}=2\), \(\bar{y}=\dfrac{10+16+22}{3}=16\), donc \(\mathbf{G(2\,;\,16)}\)
b) \(5x+3=28\), \(5x=25\), \(x=\mathbf{5}\)
c) \(a=\dfrac{20-8}{6-2}=\dfrac{12}{4}=\mathbf{3}\)
d) \(b=\bar{y}-a\bar{x}=15-4\times 3=15-12=\mathbf{3}\)
🟣 Niveau 3 — Automatisation

Q1. Changement de variable — Données : \(x=\{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\}\), \(y=\{3\,;\,12\,;\,27\,;\,48\,;\,75\}\). La relation n’est pas affine. Poser \(X=x^2\) et vérifier que \(y=3X\) est un bon modèle.

Voir la réponse
On calcule \(X=x^2\) pour chaque valeur :
\(X=\{1\,;\,4\,;\,9\,;\,16\,;\,25\}\)

On vérifie \(y=3X\) :
• \(x=1\) : \(3\times 1=3\) ✓
• \(x=2\) : \(3\times 4=12\) ✓
• \(x=3\) : \(3\times 9=27\) ✓
• \(x=4\) : \(3\times 16=48\) ✓
• \(x=5\) : \(3\times 25=75\) ✓

Le modèle \(\mathbf{y=3x^2}\) convient parfaitement. Le changement de variable \(X=x^2\) a permis de se ramener à une relation linéaire \(y=3X\).

Q2. Un changement de variable \(X=\ln(x)\) transforme un modèle logarithmique en…

Q3. Contexte pro — Production de meubles \(x\) et coût total \(y\) (en €) : \(x=\{5\,;\,10\,;\,15\,;\,20\,;\,25\}\), \(y=\{850\,;\,1\,400\,;\,1\,950\,;\,2\,500\,;\,3\,050\}\).
a) Montrer que le coût est affine.
b) Déterminer la droite.
c) En déduire le coût fixe et le coût variable unitaire.

Voir la réponse
a) On calcule les accroissements :
De \(x=5\) à \(x=10\) : \(\Delta y=1\,400-850=550\), \(\Delta x=5\), taux \(=\dfrac{550}{5}=110\).
De \(x=10\) à \(x=15\) : \(\Delta y=550\), taux \(=110\).
De \(x=15\) à \(x=20\) : \(\Delta y=550\), taux \(=110\).
De \(x=20\) à \(x=25\) : \(\Delta y=550\), taux \(=110\).
Le taux d’accroissement est constant : la relation est bien affine.

b) \(a=110\). On utilise le point \((5\,;\,850)\) :
\(850=110\times 5+b\), donc \(b=850-550=300\).
Droite : \(\mathbf{y=110x+300}\).

c) Le coût fixe est \(b=\mathbf{300\text{ €}}\) (coût quand \(x=0\)).
Le coût variable unitaire est \(a=\mathbf{110\text{ €/meuble}}\).

Q4. Le coefficient de corrélation \(r\) est proche de \(-1\). Cela signifie…

Q5. Usure d’un outil : heures \(x=\{0\,;\,100\,;\,200\,;\,300\,;\,400\}\), épaisseur \(y=\{5{,}0\,;\,4{,}2\,;\,3{,}5\,;\,2{,}7\,;\,2{,}0\}\) (en mm).

Heures Épaisseur (mm) 0 100 200 300 400
a) Déterminer le point moyen \(G\).
b) Déterminer la droite d’ajustement passant par \(G\) et \((0\,;\,5)\).
c) Estimer quand l’épaisseur atteindra 1 mm.

Voir la réponse
a) \(\bar{x}=\dfrac{0+100+200+300+400}{5}=\dfrac{1\,000}{5}=200\)
\(\bar{y}=\dfrac{5{,}0+4{,}2+3{,}5+2{,}7+2{,}0}{5}=\dfrac{17{,}4}{5}=3{,}48\)
Donc \(\mathbf{G(200\,;\,3{,}48)}\).

b) La droite passe par \((0\,;\,5)\) et \(G(200\,;\,3{,}48)\).
\(a=\dfrac{3{,}48-5}{200-0}=\dfrac{-1{,}52}{200}=-0{,}0076\)
\(b=5\) (ordonnée à l’origine).
Droite : \(\mathbf{y=-0{,}0076x+5}\).

c) On résout \(y=1\) :
\(-0{,}0076x+5=1\)
\(-0{,}0076x=-4\)
\(x=\dfrac{4}{0{,}0076}\approx\mathbf{526\text{ heures}}\).
C’est une extrapolation (au-delà de 400 h).

Q6. Si \(r^2=0{,}98\), le modèle affine explique…

Q7. Modèle exponentiel — Données : \(t=\{0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\}\), \(N=\{100\,;\,150\,;\,225\,;\,338\,;\,506\}\). Poser \(Y=\ln(N)\) et vérifier que \(Y\) est affine en \(t\). En déduire la relation \(N=100\times 1{,}5^t\).

Voir la réponse
On calcule \(Y=\ln(N)\) :
• \(t=0\) : \(Y=\ln(100)\approx 4{,}605\)
• \(t=1\) : \(Y=\ln(150)\approx 5{,}011\)
• \(t=2\) : \(Y=\ln(225)\approx 5{,}416\)
• \(t=3\) : \(Y=\ln(338)\approx 5{,}823\)
• \(t=4\) : \(Y=\ln(506)\approx 6{,}227\)

Les accroissements \(\Delta Y\) sont quasi constants (\(\approx 0{,}405\)), donc \(Y\) est bien affine en \(t\).

On a \(Y\approx 0{,}405t+4{,}605\), soit \(\ln(N)\approx \ln(1{,}5)\cdot t+\ln(100)\).
D’où \(\ln(N)=\ln(100\times 1{,}5^t)\), et donc \(\mathbf{N=100\times 1{,}5^t}\).

Q8. Flash-calcul : répondre rapidement.
a) Point moyen de \(x=\{0\,;\,5\,;\,10\}\), \(y=\{20\,;\,35\,;\,50\}\)    b) Coût fixe si \(y=25x+500\)    c) \(r\) proche de 0 signifie ?    d) \(y=-0{,}5x+10\), \(x\) quand \(y=0\) ?

Voir la réponse
a) \(\bar{x}=\dfrac{0+5+10}{3}=5\), \(\bar{y}=\dfrac{20+35+50}{3}=35\), donc \(\mathbf{G(5\,;\,35)}\)
b) Le coût fixe est \(b=\mathbf{500}\)
c) \(r\) proche de 0 signifie pas de corrélation linéaire
d) \(-0{,}5x+10=0\), \(0{,}5x=10\), \(x=\mathbf{20}\)