⚡ Automatismes – Terminale Bac Pro

📈 Fonctions polynômes de degré 3

Mise à jour : 28 avril 2026

Objectif : Maîtriser les fonctions polynômes de degré 3 : dériver, étudier les variations, factoriser, déterminer les extremums locaux et le point d'inflexion.

📋 Formulaire – Polynômes de degré 3

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)Forme générale

\(f'(x)=3ax^2+2bx+c\)Dérivée

Résoudre \(f'(x)=0\) (2nd degré)Extremums locaux

\(f''(x)=0\), soit \(x=-\dfrac{b}{3a}\)Point d'inflexion

Si \(f(r)=0\), factoriser par \((x-r)\)Racine évidente

🟢 Niveau 1 — Bases

Q1. Le degré de \(f(x)=2x^3-x^2+4x-7\) est…

Q2. Calculer \(f(2)\) pour \(f(x)=x^3-3x^2+2x+1\).

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On remplace \(x\) par 2 :
\(f(2)=2^3-3\times 2^2+2\times 2+1=8-12+4+1=\mathbf{1}\)

Q3. La dérivée de \(f(x)=x^3\) est…

Q4. Dériver \(f(x)=2x^3-6x^2+5x-1\).

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On dérive terme à terme :
\(f'(x)=3\times 2x^2-2\times 6x+5=\mathbf{6x^2-12x+5}\)

Q5. Le coefficient dominant de \(f(x)=-3x^3+x^2-4\) est…

Q6. Calculer \(f(0)\) et \(f(1)\) pour \(f(x)=x^3-2x^2-x+2\).

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\(f(0)=0^3-2\times 0^2-0+2=\mathbf{2}\)
\(f(1)=1^3-2\times 1^2-1+2=1-2-1+2=\mathbf{0}\)

Q7. Si \(f(1)=0\), alors \((x-1)\) est…

Q8. Flash-calcul : répondre mentalement.
a) Degré de \(5x^3-x\) b) \(f'(x)\) si \(f(x)=4x^3\) c) \(f(-1)\) pour \(f(x)=x^3\) d) Coefficient de \(x^2\) dans \(3x^3-7x^2+x\)

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a) Degré \(\mathbf{3}\)
b) \(f'(x)=3\times 4x^2=\mathbf{12x^2}\)
c) \(f(-1)=(-1)^3=\mathbf{-1}\)
d) Le coefficient de \(x^2\) est \(\mathbf{-7}\)

🔵 Niveau 2 — Entraînement

Q1. Soit \(f(x)=x^3-4x\). Calculer \(f'(x)\), résoudre \(f'(x)=0\) et dresser le tableau de variations.

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\(f'(x)=3x^2-4\)
\(f'(x)=0 \Leftrightarrow 3x^2=4 \Leftrightarrow x^2=\dfrac{4}{3} \Leftrightarrow x=\pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}\approx\pm 1{,}15\)

Tableau de variations :
• \(f\) est croissante sur \(\left]-\infty\,;\,-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right]\)
• \(f\) admet un maximum local en \(x=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\)
• \(f\) est décroissante sur \(\left[-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,;\,\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right]\)
• \(f\) admet un minimum local en \(x=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\)
• \(f\) est croissante sur \(\left[\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,;\,+\infty\right[\)

Q2. \(f(x)=x^3-6x^2+11x-6\). On vérifie que \(f(1)=0\). Donc \(f(x)=(x-1)\times\ldots\)

Q3. Factoriser \(f(x)=x^3-x\) en utilisant la mise en facteur.

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On factorise par \(x\) :
\(f(x)=x(x^2-1)\)
On reconnaît une différence de deux carrés :
\(f(x)=x(x-1)(x+1)\)

Racines : \(x=0\), \(x=1\), \(x=-1\).

Q4. Le point d'inflexion de \(f(x)=x^3-3x^2+2\) est en \(x=\ldots\)

Q5. Soit \(f(x)=-x^3+3x^2+9x-27\). Vérifier que \(x=3\) est racine, puis factoriser.

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\(f(3)=-27+27+27-27=\mathbf{0}\) ✓ \(x=3\) est bien racine.

On factorise par \((x-3)\) :
\(f(x)=-(x^3-3x^2-9x+27)\)
\(=-(x-3)(x^2-9)\)
\(=-(x-3)(x-3)(x+3)\)
\(\mathbf{f(x)=-(x-3)^2(x+3)}\)

Q6. \(f(x)=x^3\) admet pour point d'inflexion…

Q7. Soit \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+10\). Calculer \(f'(x)\), résoudre \(f'(x)=0\) et identifier les extremums locaux.

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\(f'(x)=6x^2-6x-12=6(x^2-x-2)=6(x-2)(x+1)\)

\(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=-1\) ou \(x=2\).

• En \(x=-1\) : \(f(-1)=2(-1)-3(1)-12(-1)+10=-2-3+12+10=\mathbf{17}\) → maximum local
• En \(x=2\) : \(f(2)=2(8)-3(4)-12(2)+10=16-12-24+10=\mathbf{-10}\) → minimum local

Q8. Flash-calcul : répondre mentalement.
a) \(f'(x)\) si \(f(x)=x^3+x\) b) \(f(2)\) pour \(f(x)=x^3-8\) c) Nombre de racines max d'un polynôme de degré 3 d) \(f''(x)\) si \(f(x)=x^3-6x^2\)

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a) \(f'(x)=3x^2+1=\mathbf{3x^2+1}\)
b) \(f(2)=8-8=\mathbf{0}\)
c) Un polynôme de degré 3 admet au plus \(\mathbf{3}\) racines
d) \(f'(x)=3x^2-12x\), donc \(f''(x)=\mathbf{6x-12}\)

🟣 Niveau 3 — Automatisation

Q1. Contexte pro — Le volume d'une boîte ouverte découpée dans une plaque de 20×30 cm est \(V(x)=x(20-2x)(30-2x)=4x^3-100x^2+600x\). Dériver, trouver les extremums, déterminer \(x\) pour le volume maximal.

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\(V'(x)=12x^2-200x+600\)

On résout \(V'(x)=0\) :
\(\Delta=(-200)^2-4\times 12\times 600=40\,000-28\,800=11\,200\)
\(\sqrt{11\,200}\approx 105{,}83\)

\(x_1=\dfrac{200-105{,}83}{24}\approx\mathbf{3{,}92\text{ cm}}\) (valeur retenue, dans \(]0\,;\,10[\))
\(x_2=\dfrac{200+105{,}83}{24}\approx 12{,}74\text{ cm}\) (hors domaine)

Le volume est maximal pour \(x\approx 3{,}92\) cm.

Q2. \(f(x)=x^3-7x+6\). On sait que \(f(1)=0\) et \(f(2)=0\). La troisième racine est…

Q3. Étudier les variations de \(f(x)=x^3-12x+16\). Donner le tableau de variations complet.

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\(f'(x)=3x^2-12=3(x^2-4)=3(x-2)(x+2)\)
\(f'(x)=0 \Leftrightarrow x=-2\) ou \(x=2\).

• \(f(-2)=(-8)-12\times(-2)+16=-8+24+16=\mathbf{32}\) → maximum local
• \(f(2)=8-24+16=\mathbf{0}\) → minimum local

Tableau de variations :
• \(f\) croissante sur \(]-\infty\,;\,-2]\)
• \(f(-2)=32\) (maximum local)
• \(f\) décroissante sur \([-2\,;\,2]\)
• \(f(2)=0\) (minimum local)
• \(f\) croissante sur \([2\,;\,+\infty[\)

Q4. Le coût de production est \(C(x)=0{,}1x^3-3x^2+50x+200\). Le coût marginal \(C'(x)\) pour \(x=10\) est…

Q5. Résoudre \(x^3-4x^2+x+6=0\). (Tester \(x=-1\).)

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\(f(-1)=(-1)^3-4(-1)^2+(-1)+6=-1-4-1+6=\mathbf{0}\) ✓

On factorise par \((x+1)\) :
\(f(x)=(x+1)(x^2-5x+6)\)
\(=(x+1)(x-2)(x-3)\)

Solutions : \(x=-1\), \(x=2\), \(x=3\).

Q6. La dérivée seconde \(f''(x)=6x-12\) s'annule en \(x=2\). C'est…

Q7. Contexte pro — Le débit d'eau dans une canalisation est \(d(t)=-t^3+9t^2-15t+50\) (L/min) sur \([0\,;\,6]\). Étudier les variations et déterminer quand le débit est maximal.

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\(d'(t)=-3t^2+18t-15=-3(t^2-6t+5)=-3(t-1)(t-5)\)
\(d'(t)=0 \Leftrightarrow t=1\) ou \(t=5\).

• \(d(0)=50\)
• \(d(1)=-1+9-15+50=\mathbf{43}\) → minimum local
• \(d(5)=-125+225-75+50=\mathbf{75}\) → maximum local
• \(d(6)=-216+324-90+50=\mathbf{68}\)

Sur \([0\,;\,6]\), le débit est maximal en \(t=5\) avec \(d(5)=75\) L/min.

Q8. Flash-calcul : répondre rapidement.
a) \(f'(x)\) si \(f(x)=-x^3+6x^2\) b) \(f(0)\) pour \(f(x)=2x^3-5x+7\) c) \(f''(x)\) si \(f'(x)=12x^2-6x+1\) d) Racine évidente de \(x^3-8\)

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a) \(f'(x)=-3x^2+12x=\mathbf{-3x^2+12x}\)
b) \(f(0)=0-0+7=\mathbf{7}\)
c) \(f''(x)=24x-6=\mathbf{24x-6}\)
d) \(x^3-8=0 \Leftrightarrow x^3=8 \Leftrightarrow x=\mathbf{2}\)