⚡ Automatismes – Terminale Bac Pro

∫ Calcul intégral

Mise à jour : 17 avril 2026

Objectif : Déterminer des primitives de fonctions simples, calculer des intégrales définies et interpréter géométriquement une intégrale comme une aire sous une courbe.
📋 Formules à connaître
🟢 Niveau 1 — Primitives de fonctions simples

Q1. Quelle est une primitive de la fonction \(f(x) = 3\) ?

Q2. Quelle est une primitive de \(f(x) = x\) ?

Q3. Quelle est une primitive de \(f(x) = x^2\) ?

Q4. Donner une primitive de chaque fonction.
a) \(f(x) = 5\)    b) \(g(x) = 4x\)    c) \(h(x) = x^3\)

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a) \(F(x) = \mathbf{5x}\)  (primitive d'une constante)
b) \(G(x) = 4 \times \dfrac{x^2}{2} = \mathbf{2x^2}\)  (on vérifie : \(G'(x) = 4x\) ✓)
c) \(H(x) = \dfrac{x^4}{4}\)  (formule \(x^{n+1}/(n+1)\) avec \(n = 3\))

Q5. Parmi les fonctions suivantes, laquelle est une primitive de \(f(x) = 6x + 1\) ?

Q6. Quelle est une primitive de \(f(x) = 4x^3\) ?

Q7. Quelle est une primitive de \(f(x) = 2x + 3\) ?

Q8. Donner une primitive de chaque fonction.
a) \(f(x) = 7\)    b) \(g(x) = 3x^2 + 2\)    c) \(h(x) = \dfrac{1}{2}x\)

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a) \(F(x) = \mathbf{7x}\)
b) \(G(x) = 3 \times \dfrac{x^3}{3} + 2x = \mathbf{x^3 + 2x}\)  (on vérifie : \(G'(x) = 3x^2 + 2\) ✓)
c) \(H(x) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{x^2}{2} = \mathbf{\dfrac{x^2}{4}}\)  (on vérifie : \(H'(x) = \dfrac{2x}{4} = \dfrac{x}{2}\) ✓)
🔵 Niveau 2 — Calcul d'intégrales définies

Q1. Calculer \(\displaystyle\int_0^2 3\,\mathrm{d}x\).

Q2. Calculer \(\displaystyle\int_1^3 x\,\mathrm{d}x\).

Voir la réponse
Une primitive de \(x\) est \(F(x) = \dfrac{x^2}{2}\).

\(\displaystyle\int_1^3 x\,\mathrm{d}x = F(3) - F(1) = \dfrac{3^2}{2} - \dfrac{1^2}{2} = \dfrac{9}{2} - \dfrac{1}{2} = \mathbf{\dfrac{8}{2} = 4}\)

Q3. Calculer \(\displaystyle\int_0^3 x^2\,\mathrm{d}x\).

Q4. Calculer \(\displaystyle\int_0^2 (3x^2 + 2x)\,\mathrm{d}x\).

Voir la réponse
Une primitive de \(3x^2 + 2x\) est \(F(x) = x^3 + x^2\).

\(F(2) = 2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12\)
\(F(0) = 0\)

\(\displaystyle\int_0^2 (3x^2 + 2x)\,\mathrm{d}x = 12 - 0 = \mathbf{12}\)

Q5. L'intégrale \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) avec \(f(x) \geqslant 0\) sur \([a\,;\,b]\) représente géométriquement :

x y f(x) = x² 0 3 ∫₀³ f(x)dx

Q6. Calculer \(\displaystyle\int_0^4 2\,\mathrm{d}x\).

Q7. Calculer \(\displaystyle\int_0^2 (x + 3)\,\mathrm{d}x\).

Q8. Calculer les intégrales suivantes.
a) \(\displaystyle\int_1^2 x^2\,\mathrm{d}x\)    b) \(\displaystyle\int_0^1 (4x + 1)\,\mathrm{d}x\)

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a) Primitive de \(x^2\) : \(F(x) = \dfrac{x^3}{3}\).
\(F(2) - F(1) = \dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3} = \mathbf{\dfrac{7}{3} \approx 2{,}33}\)

b) Primitive de \(4x + 1\) : \(F(x) = 2x^2 + x\).
\(F(1) - F(0) = (2 + 1) - 0 = \mathbf{3}\)
🟣 Niveau 3 — Applications et propriétés

Q1. Un panneau solaire a une section dont le profil est modélisé par la courbe de \(f(x) = -x^2 + 4\) sur l'intervalle \([0\,;\,2]\).
Calculer l'aire de cette section (en unités d'aire).

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On calcule \(\displaystyle\int_0^2 (-x^2 + 4)\,\mathrm{d}x\).

Une primitive de \(-x^2 + 4\) est \(F(x) = -\dfrac{x^3}{3} + 4x\).

\(F(2) = -\dfrac{8}{3} + 8 = -\dfrac{8}{3} + \dfrac{24}{3} = \dfrac{16}{3}\)
\(F(0) = 0\)

Aire = \(\dfrac{16}{3} \approx 5{,}33\) unités d'aire.

Q2. On sait que \(\displaystyle\int_0^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 7\) et \(\displaystyle\int_3^5 f(x)\,\mathrm{d}x = 4\).
Que vaut \(\displaystyle\int_0^5 f(x)\,\mathrm{d}x\) ?

Q3. On sait que \(\displaystyle\int_1^4 f(x)\,\mathrm{d}x = 10\) et \(\displaystyle\int_1^4 g(x)\,\mathrm{d}x = 3\).
Calculer \(\displaystyle\int_1^4 \big[f(x) + g(x)\big]\,\mathrm{d}x\).

Q4. Un menuisier agenceur fabrique un plateau de table dont la forme est délimitée par la courbe de \(f(x) = x + 1\) (en dm), l'axe des abscisses, et les droites \(x = 0\) et \(x = 3\).
Calculer la surface du plateau en dm².

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On calcule \(\displaystyle\int_0^3 (x + 1)\,\mathrm{d}x\).

Une primitive de \(x + 1\) est \(F(x) = \dfrac{x^2}{2} + x\).

\(F(3) = \dfrac{9}{2} + 3 = \dfrac{9}{2} + \dfrac{6}{2} = \dfrac{15}{2}\)
\(F(0) = 0\)

Surface = \(\dfrac{15}{2} = 7{,}5\) dm².
On peut vérifier : c'est l'aire d'un trapèze de bases 1 et 4, de hauteur 3 : \(\dfrac{(1+4) \times 3}{2} = 7{,}5\) ✓

Q5. Un installateur thermique doit évaluer la quantité de chaleur \(Q\) (en kJ) fournie par un radiateur pendant les 4 premières heures de fonctionnement. La puissance est modélisée par \(P(t) = 2t + 1\) (en kW, \(t\) en heures).
On rappelle : \(Q = \displaystyle\int_0^4 P(t)\,\mathrm{d}t\). Calculer \(Q\).

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Une primitive de \(P(t) = 2t + 1\) est \(F(t) = t^2 + t\).

\(Q = F(4) - F(0) = (16 + 4) - 0 = 20\)

\(Q = 20\) kWh = 20 × 3\,600 = 72\,000 kJ.
Le radiateur a fourni 72 000 kJ pendant les 4 premières heures.

Q6. On sait que \(\displaystyle\int_0^2 f(x)\,\mathrm{d}x = 5\). Que vaut \(\displaystyle\int_0^2 3\,f(x)\,\mathrm{d}x\) ?

Q7. Un plombier chauffagiste doit estimer le volume d'eau consommé en 3 heures. Le débit d'eau suit la loi \(D(t) = t^2 + 2\) (en litres/heure, \(t\) en heures). Calculer le volume total \(V = \displaystyle\int_0^3 D(t)\,\mathrm{d}t\).

Q8. Un ébéniste fabrique un plateau dont le bord supérieur suit la courbe de \(f(x) = -2x^2 + 8\) (en dm) sur l'intervalle \([0\;;\;2]\). Le bord inférieur est l'axe des abscisses.
Calculer l'aire de cette section en dm².

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On calcule \(\displaystyle\int_0^2 (-2x^2 + 8)\,\mathrm{d}x\).

Une primitive de \(-2x^2 + 8\) est \(F(x) = -\dfrac{2x^3}{3} + 8x\).

\(F(2) = -\dfrac{16}{3} + 16 = -\dfrac{16}{3} + \dfrac{48}{3} = \dfrac{32}{3}\)
\(F(0) = 0\)

Aire = \(\dfrac{32}{3} \approx 10{,}67\) dm².