⚡ Automatismes – Terminale Bac Pro

📈 Fonctions exponentielle et logarithme décimal

Mise à jour : 17 avril 2026

Objectif : Reconnaître et utiliser les fonctions \(e^x\), \(\ln(x)\) et \(\log(x)\), résoudre des équations simples et appliquer les propriétés dans des contextes concrets.
📋 Formules à connaître
🟢 Niveau 1 — Bases

Q1. Que vaut \(e^0\) ?

x y y = x e^x ln(x)

Q2. Que vaut \(\ln(1)\) ?

Q3. Que vaut \(\log(1000)\) ?

Q4. Flash-calcul : donner la valeur de chaque expression.
a) \(\ln(e)\)    b) \(e^1\)    c) \(\log(10)\)    d) \(\log(1)\)

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a) \(\ln(e) = \mathbf{1}\)
b) \(e^1 = \mathbf{e \approx 2{,}718}\)
c) \(\log(10) = \mathbf{1}\)
d) \(\log(1) = \mathbf{0}\)

Q5. La fonction \(\ln\) est définie pour :

Q6. Que vaut \(\log(100)\) ?

Q7. Que vaut \(e^1 \times e^0\) ?

Q8. Flash-calcul : donner la valeur de chaque expression.
a) \(\ln(e^2)\)    b) \(e^{\ln(5)}\)    c) \(\log(0{,}1)\)

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a) \(\ln(e^2) = \mathbf{2}\)  (car \(\ln(e^x) = x\))
b) \(e^{\ln(5)} = \mathbf{5}\)  (car \(e^{\ln(x)} = x\))
c) \(\log(0{,}1) = \log(10^{-1}) = \mathbf{-1}\)
🔵 Niveau 2 — Entraînement

Q1. Simplifier \(e^3 \times e^2\).

Q2. Simplifier \(\dfrac{e^7}{e^3}\).

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\(\dfrac{e^7}{e^3} = e^{7-3} = \mathbf{e^4}\)

Q3. Simplifier \(\ln(5) + \ln(2)\).

Q4. Résoudre \(e^x = 5\).

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\(e^x = 5 \Leftrightarrow x = \ln(5)\)
\(\mathbf{x = \ln(5) \approx 1{,}609}\)

Q5. Flash-calcul : simplifier chaque expression.
a) \(e^2 \times e^{-1}\)    b) \(\ln(3) + \ln(4)\)    c) \(\ln(8) - \ln(2)\)

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a) \(e^{2+(-1)} = \mathbf{e^1 = e}\)
b) \(\ln(3 \times 4) = \mathbf{\ln(12)}\)
c) \(\ln\!\left(\dfrac{8}{2}\right) = \mathbf{\ln(4)}\)

Q6. Simplifier \(\ln(e^4)\).

Q7. Résoudre \(e^{2x} = e^6\).

Q8. La dérivée de \(f(x) = e^x\) est :

Q9. Dériver \(g(x) = 3\,e^{2x}\).
Indication : \(g(x) = 3 \times e^{2x}\), utiliser la formule \((e^{u})' = u' \times e^{u}\).

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On pose \(u(x) = 2x\), donc \(u'(x) = 2\).
\(g'(x) = 3 \times u'(x) \times e^{u(x)} = 3 \times 2 \times e^{2x} = \mathbf{6\,e^{2x}}\)

Q10. Simplifier chaque expression.
a) \(\dfrac{e^5}{e^2} \times e^{-1}\)    b) \(\ln(6) - \ln(3) + \ln(5)\)    c) \(e^{\ln(7)}\)

Voir la réponse
a) \(\dfrac{e^5}{e^2} \times e^{-1} = e^{5-2} \times e^{-1} = e^3 \times e^{-1} = \mathbf{e^2}\)
b) \(\ln(6) - \ln(3) + \ln(5) = \ln\!\left(\dfrac{6}{3}\right) + \ln(5) = \ln(2) + \ln(5) = \mathbf{\ln(10)}\)
c) \(e^{\ln(7)} = \mathbf{7}\)
🟣 Niveau 3 — Automatisation

Q1. Un capital de 500 € est placé à un taux annuel de 3 %. Après combien d'années dépasse-t-il 600 € ?
On utilise : \(500 \times 1{,}03^n > 600\), soit \(1{,}03^n > 1{,}2\).

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\(1{,}03^n > 1{,}2\)
\(n \times \ln(1{,}03) > \ln(1{,}2)\)
\(n > \dfrac{\ln(1{,}2)}{\ln(1{,}03)} = \dfrac{0{,}1823}{0{,}02956} \approx 6{,}17\)
Il faut 7 années complètes.

Q2. Le niveau sonore en décibels est donné par \(L = 10 \times \log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\). Si \(I = 10\,000 \times I_0\), que vaut L ?

Q3. Résoudre \(\ln(x) = 3\).

Q4. La température d'un café suit la loi \(T(t) = 20 + 60 \times e^{-0{,}05t}\) (en °C, t en minutes).
a) Quelle est la température initiale ?
b) Au bout de combien de minutes la température atteint-elle 50 °C ?

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a) \(T(0) = 20 + 60 \times e^0 = 20 + 60 = \mathbf{80\,°C}\)

b) On résout \(50 = 20 + 60 \times e^{-0{,}05t}\)
\(30 = 60 \times e^{-0{,}05t}\)
\(e^{-0{,}05t} = 0{,}5\)
\(-0{,}05t = \ln(0{,}5) \approx -0{,}693\)
\(t = \dfrac{0{,}693}{0{,}05} \approx \mathbf{13{,}9 \text{ min}}\)

Q5. Flash-calcul : résoudre chaque équation.
a) \(e^x = 1\)    b) \(\ln(x) = 0\)    c) \(10^x = 100\,000\)

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a) \(e^x = 1 \Rightarrow x = \ln(1) = \mathbf{0}\)
b) \(\ln(x) = 0 \Rightarrow x = e^0 = \mathbf{1}\)
c) \(10^x = 10^5 \Rightarrow \mathbf{x = 5}\)

Q6. Un installateur thermique mesure le niveau de bruit d'une chaudière : \(L = 10 \times \log\!\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\). Si \(L = 60\) dB, combien vaut \(\dfrac{I}{I_0}\) ?

Q7. Résoudre \(2\,e^{3x} = 10\).

Q8. La dérivée de \(f(x) = \ln(x)\) est :

Q9. Dériver \(h(x) = \ln(3x+1)\).
Indication : utiliser la formule \((\ln\,u)' = \dfrac{u'}{u}\).

Voir la réponse
On pose \(u(x) = 3x + 1\), donc \(u'(x) = 3\).
\(h'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} = \mathbf{\dfrac{3}{3x+1}}\)

Q10. La population d'une colonie de bactéries double toutes les 2 heures. On a initialement 500 bactéries.
a) Exprimer le nombre \(N(t)\) de bactéries en fonction du temps \(t\) (en heures).
b) Après combien d'heures y aura-t-il 8 000 bactéries ?

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a) \(N(t) = 500 \times 2^{t/2}\)

b) On résout \(500 \times 2^{t/2} = 8\,000\)
\(2^{t/2} = 16 = 2^4\)
\(\dfrac{t}{2} = 4\)
\(t = 8\) heures