⚡ Automatismes – Seconde Bac Pro

📈 Notion de fonction

Mise à jour : 28 avril 2026

Objectif : Lire et exploiter une fonction (image, antécédent, coefficient directeur, tableau de variations) dans différents registres (formule, tableau, graphique).

📋 Formulaire – Notion de fonction

\(f(x)\) = image de \(x\) par \(f\)Image

\(x\) est antécédent de \(y\) si \(f(x)=y\)Antécédent

\(a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\)Coefficient directeur

\(f(x)=ax+b\)Fonction affine

\(f(x)=ax\)Fonction linéaire

Rappel : Un point \(A(x_A\,;\,y_A)\) appartient à la courbe de \(f\) si et seulement si \(f(x_A)=y_A\).

🟢 Niveau 1 — Bases

Q1. Quelle est l'abscisse du point \(A(3\,;\,2)\) ?

Q2. Si \(f(2)=7\), que vaut l'image de 2 par \(f\) ?

Q3. On donne \(f(x)=2x+1\). Calculer \(f(3)\).

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On remplace \(x\) par 3 :
\(f(3)=2\times 3+1=6+1=\mathbf{7}\)

Q4. Si \(f(x)=5\), alors \(x\) est…

Q5. On donne \(f(x)=3x-2\). Compléter le tableau de valeurs pour \(x=-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\).

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\(f(-1)=3\times(-1)-2=-3-2=\mathbf{-5}\)
\(f(0)=3\times 0-2=0-2=\mathbf{-2}\)
\(f(1)=3\times 1-2=3-2=\mathbf{1}\)
\(f(2)=3\times 2-2=6-2=\mathbf{4}\)
\(f(3)=3\times 3-2=9-2=\mathbf{7}\)

Q6. Le point \(A(2\,;\,5)\) appartient-il à la courbe de \(f(x)=2x+1\) ?

Q7. Dans \(f(4)=9\), le nombre 9 est…

Q8. Flash-calcul : répondre mentalement.
a) \(f(0)\) pour \(f(x)=5x-3\) b) Image de 1 par \(g(x)=x^2+1\) c) Si \(h(x)=2x\) et \(h(x)=10\), trouver \(x\) d) Ordonnée du point \((3\,;\,?)\) sur \(y=x+4\)

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a) \(f(0)=5\times 0-3=\mathbf{-3}\)
b) \(g(1)=1^2+1=1+1=\mathbf{2}\)
c) \(2x=10\) donc \(x=\mathbf{5}\)
d) \(y=3+4=\mathbf{7}\), le point est \((3\,;\,7)\)

🔵 Niveau 2 — Entraînement

Q1. Calculer le coefficient directeur de la droite passant par \(A(1\,;\,3)\) et \(B(3\,;\,7)\).

Q2. Déterminer \(f(x)=ax+b\) sachant que \(f(0)=3\) et \(f(2)=7\).

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\(f(0)=a\times 0+b=b=3\), donc \(b=3\).
\(f(2)=2a+3=7\), donc \(2a=4\), soit \(a=2\).
Conclusion : \(\mathbf{f(x)=2x+3}\)

Q3. Si \(a>0\) dans \(f(x)=ax+b\), la fonction est…

Q4. Une fonction \(f\) est croissante sur \([0\,;\,3]\), atteint un maximum de 5 en \(x=3\), puis est décroissante sur \([3\,;\,6]\) avec un minimum de 1 en \(x=6\). Établir le tableau de variations de \(f\).

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Tableau de variations :
• \(x\) varie de 0 à 3 puis de 3 à 6.
• \(f\) est croissante sur \([0\,;\,3]\) : \(f\) monte jusqu'à \(f(3)=\mathbf{5}\) (maximum).
• \(f\) est décroissante sur \([3\,;\,6]\) : \(f\) descend jusqu'à \(f(6)=\mathbf{1}\) (minimum).

Q5. On donne la courbe de la fonction \(f\) ci-dessous. Lire graphiquement la valeur de \(f(2)\).

Q6. Résoudre graphiquement \(f(x)=4\) quand \(f(x)=2x-2\) (trouver \(x\)).

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On résout \(2x-2=4\) :
\(2x=6\)
\(x=\mathbf{3}\)
Graphiquement, on trace la droite \(y=4\) et on lit l'abscisse du point d'intersection avec la courbe de \(f\) : on trouve \(x=3\).

Q7. Parmi les fonctions suivantes, laquelle est une fonction linéaire ?

Q8. Flash-calcul : répondre mentalement.
a) Coefficient directeur si \(A(0\,;\,1)\) et \(B(2\,;\,5)\) b) \(f(x)=-x+3\), \(f\) est croissante ou décroissante ? c) Image de \(-2\) par \(f(x)=x^2\) d) \(f(x)=4x\), \(f(5)=\,?\)

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a) \(a=\dfrac{5-1}{2-0}=\dfrac{4}{2}=\mathbf{2}\)
b) \(a=-1<0\), donc \(f\) est décroissante
c) \(f(-2)=(-2)^2=\mathbf{4}\)
d) \(f(5)=4\times 5=\mathbf{20}\)

🟣 Niveau 3 — Automatisation

Q1. Une fonction \(f\) est définie sur \([0\,;\,7]\). Elle admet un minimum égal à \(-1\) atteint en \(x=2\) et un maximum égal à 4 atteint en \(x=5\). Déterminer les extremums globaux de \(f\).

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• Le minimum global de \(f\) est \(\mathbf{-1}\), atteint en \(x=2\).
• Le maximum global de \(f\) est \(\mathbf{4}\), atteint en \(x=5\).
Ainsi, pour tout \(x\in[0\,;\,7]\), on a \(-1\leq f(x)\leq 4\).

Q2. Résoudre \(f(x)=0\) pour \(f(x)=3x-6\).

Q3. Un artisan menuisier facture ses interventions selon la formule \(f(x)=45x+80\) où \(x\) est le nombre d'heures de travail.
a) Calculer le coût pour 6 heures de travail.
b) Combien d'heures peut-il travailler pour un budget de 350 € ?

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a) \(f(6)=45\times 6+80=270+80=\mathbf{350\text{ €}}\)

b) On résout \(45x+80=350\) :
\(45x=350-80=270\)
\(x=\dfrac{270}{45}=\mathbf{6\text{ heures}}\)

Q4. Une fonction \(f\) est décroissante sur \([0\,;\,3]\) puis croissante sur \([3\,;\,6]\). Quel tableau de variations correspond ?

Q5. On considère \(f(x)=-x^2+4\). Résoudre graphiquement \(f(x)<3\). Décrire la méthode et donner l'intervalle solution.

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Méthode : on trace la courbe de \(f(x)=-x^2+4\) et la droite horizontale \(y=3\). On cherche les zones où la courbe est en dessous de cette droite.

On résout d'abord \(-x^2+4=3\) :
\(-x^2=-1\), donc \(x^2=1\), soit \(x=-1\) ou \(x=1\).

La parabole est en dessous de \(y=3\) pour \(x<-1\) ou \(x>1\).
Donc \(\mathbf{f(x)<3}\) pour \(x\in\,]-\infty\,;\,-1[\,\cup\,]1\,;\,+\infty[\).

Q6. Déterminer le coefficient directeur de la droite passant par \((-1\,;\,4)\) et \((3\,;\,-2)\).

Q7. La distance d'arrêt d'un véhicule (en mètres) est modélisée par \(d(v)=0{,}005v^2+0{,}2v\) où \(v\) est la vitesse en km/h.
a) Calculer \(d(50)\).
b) Calculer \(d(90)\).
c) Interpréter les résultats.

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a) \(d(50)=0{,}005\times 50^2+0{,}2\times 50=0{,}005\times 2\,500+10=12{,}5+10=\mathbf{22{,}5\text{ m}}\)

b) \(d(90)=0{,}005\times 90^2+0{,}2\times 90=0{,}005\times 8\,100+18=40{,}5+18=\mathbf{58{,}5\text{ m}}\)

c) À 50 km/h, la distance d'arrêt est de 22,5 m. À 90 km/h, elle est de 58,5 m, soit plus du double. La vitesse a été multipliée par 1,8, mais la distance d'arrêt a été multipliée par 2,6. Cela montre que la distance d'arrêt augmente beaucoup plus vite que la vitesse, à cause du terme en \(v^2\).

Q8. Flash-calcul : répondre rapidement.
a) \(f(x)=2x+1\), résoudre \(f(x)=0\) b) \(g(x)=-3x+9\), \(g\) croissante ou décroissante ? c) Coefficient directeur si points \((0\,;\,-2)\) et \((4\,;\,6)\) d) Extremum de \(f(x)=-x^2+4\) ?

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a) \(2x+1=0\), donc \(2x=-1\), soit \(x=\mathbf{-0{,}5}\)
b) \(a=-3<0\), donc \(g\) est décroissante
c) \(a=\dfrac{6-(-2)}{4-0}=\dfrac{8}{4}=\mathbf{2}\)
d) \(f(x)=-x^2+4\) est une parabole tournée vers le bas, donc elle admet un maximum en \(x=0\) : \(f(0)=\mathbf{4}\)