⚡ Automatismes – Seconde Bac Pro

✏️ Calcul littéral

Mise à jour : 17 avril 2026

Objectif : Développer, factoriser, réduire des expressions et résoudre des équations simples.
📋 Formulaire – Calcul littéral
\(a(b+c)=ab+ac\)Développer
\(ab+ac=a(b+c)\)Factoriser
\(ax=b \Rightarrow x=\dfrac{b}{a}\)Résoudre (multiplication)
\(a+x=b \Rightarrow x=b-a\)Résoudre (addition)
🟢 Niveau 1 — Bases

Q1. Développer \(3(x+5)\).

Q2. Factoriser \(6x+18\).

Q3. Réduire l'expression \(4x+3-2x+7\).

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On regroupe les termes en \(x\) et les constantes :
\(4x - 2x + 3 + 7 = \mathbf{2x + 10}\)

Q4. Résoudre \(5x = 35\).

Q5. Flash-calcul : répondre mentalement.
a) Résoudre \(x+8=3\)    b) Résoudre \(-3x=12\)    c) Développer \(-2(3x-4)\)    d) Factoriser \(x^2-5x\)

Voir la réponse
a) \(x = 3 - 8 = \mathbf{-5}\)
b) \(x = \dfrac{12}{-3} = \mathbf{-4}\)
c) \(-2\times 3x + (-2)\times(-4) = \mathbf{-6x + 8}\)
d) Facteur commun \(x\) : \(\mathbf{x(x - 5)}\)

Q6. Développer \(5(2x - 3)\).

Q7. Factoriser \(8x - 12\).

Q8. Un menuisier découpe des tasseaux de longueur \(x\) cm. Il en a 4 et il lui reste une chute de 15 cm. La planche d'origine mesure 135 cm. Écrire l'équation puis trouver \(x\).

Voir la réponse
La longueur totale donne l'équation :
\(4x + 15 = 135\)
\(4x = 135 - 15 = 120\)
\(x = \dfrac{120}{4} = \mathbf{30}\)
Chaque tasseau mesure 30 cm.
🔵 Niveau 2 — Entraînement

Q1. La formule de la distance est \(d = v \times t\). Exprimer \(v\) en fonction de \(d\) et \(t\).

Q2. On donne \(U = R \times I\) et \(P = U \times I\). Exprimer \(P\) en fonction de \(R\) et \(I\).

Voir la réponse
On remplace \(U\) par \(R \times I\) dans \(P = U \times I\) :
\(P = (R \times I) \times I = R \times I^2\)
\(\mathbf{P = R \, I^2}\)

Q3. Développer \((x+3)(x-2)\).

Q4. Résoudre \(3x + 7 = 2x - 5\).

Voir la réponse
On regroupe les termes en \(x\) d'un côté :
\(3x - 2x = -5 - 7\)
\(x = -12\)
La solution est \(\mathbf{x = -12}\).

Q5. Flash-calcul : répondre mentalement.
a) Développer \(4(2x-1)\)    b) Factoriser \(12x-8\)    c) Réduire \(3x^2+2x-x^2+5x\)    d) Résoudre \(7x=-21\)

Voir la réponse
a) \(4\times 2x + 4\times(-1) = \mathbf{8x - 4}\)
b) Facteur commun 4 : \(\mathbf{4(3x - 2)}\)
c) \(3x^2 - x^2 + 2x + 5x = \mathbf{2x^2 + 7x}\)
d) \(x = \dfrac{-21}{7} = \mathbf{-3}\)

Q6. Développer et réduire \(2(3x + 4) - 5(x - 1)\).

Q7. Un menuisier agenceur facture ses prestations selon la formule \(C = 45h + 120\), où \(h\) est le nombre d'heures de travail et \(C\) le coût total en euros.
a) Calculer le coût pour 8 heures de travail.
b) Combien d'heures a-t-il travaillé si le client paie 525 euros ?

Voir la réponse
a) \(C = 45 \times 8 + 120 = 360 + 120 = \mathbf{480 \text{ euros}}\)

b) On résout \(45h + 120 = 525\) :
\(45h = 525 - 120 = 405\)
\(h = \dfrac{405}{45} = \mathbf{9 \text{ heures}}\)

Q8. Factoriser \(10x + 15\).

🟣 Niveau 3 — Automatisation

Q1. Un menuisier découpe une planche de \(L\) cm en 3 morceaux : le premier mesure \(x\) cm, le deuxième \(2x\) cm et le troisième \((x+10)\) cm. Quelle équation traduit cette situation ?

Q2. La formule du périmètre d'un rectangle est \(P = 2(L + l)\).
a) Exprimer \(L\) en fonction de \(P\) et \(l\).
b) Application : \(P = 48\) cm et \(l = 10\) cm. Trouver \(L\).

Voir la réponse
a) \(P = 2(L + l)\)
\(\dfrac{P}{2} = L + l\)
\(L = \dfrac{P}{2} - l\)
\(\mathbf{L = \dfrac{P - 2l}{2}}\)

b) \(L = \dfrac{48 - 2\times 10}{2} = \dfrac{48 - 20}{2} = \dfrac{28}{2} = \mathbf{14\text{ cm}}\)

Q3. Factoriser \(3x^2 + 9x\).

Q4. Un chauffagiste utilise la formule \(P = m \times c \times \Delta T\) pour calculer l'énergie nécessaire au chauffage de l'eau.
Données : \(m = 50\) kg, \(c = 4\,180\) J/(kg·°C), \(\Delta T = 30\)°C.
a) Calculer \(P\).
b) Exprimer \(\Delta T\) en fonction de \(P\), \(m\) et \(c\).

Voir la réponse
a) \(P = 50 \times 4\,180 \times 30\)
\(P = 50 \times 125\,400 = \mathbf{6\,270\,000\text{ J}} = 6{,}27\text{ MJ}\)

b) On isole \(\Delta T\) :
\(P = m \times c \times \Delta T\)
\(\mathbf{\Delta T = \dfrac{P}{m \times c}}\)

Q5. Flash-calcul : répondre rapidement.
a) Résoudre \(5(x-2) = 3x+4\)    b) Développer et réduire \((2x+1)(x-3)\)    c) Factoriser \(15x^2-10x\)    d) Si \(A = \pi r^2\), exprimer \(r\)

Voir la réponse
a) \(5x - 10 = 3x + 4\) → \(2x = 14\) → \(\mathbf{x = 7}\)
b) \(2x^2 - 6x + x - 3 = \mathbf{2x^2 - 5x - 3}\)
c) Facteur commun \(5x\) : \(\mathbf{5x(3x - 2)}\)
d) \(r^2 = \dfrac{A}{\pi}\) donc \(\mathbf{r = \sqrt{\dfrac{A}{\pi}}}\)

Q6. Développer \((2x - 3)^2\).

Q7. Factoriser \(6x^2 - 9x + 12x - 18\) en regroupant les termes deux par deux.

Q8. Un artisan menuisier fabrique des étagères sur mesure. Le prix d'une étagère est donné par \(P = 2(L + l) \times 8 + 35\), où \(L\) est la longueur et \(l\) la largeur en mètres (le périmètre est multiplié par le prix au mètre linéaire de chant, plus un forfait de pose).
a) Développer et simplifier l'expression de \(P\).
b) Calculer le prix pour \(L = 1{,}2\) m et \(l = 0{,}4\) m.
c) Un client dispose de 99 euros. Exprimer \(L\) en fonction de \(l\), puis trouver la longueur maximale si \(l = 0{,}5\) m.

Voir la réponse
a) \(P = 2(L + l) \times 8 + 35 = 16(L + l) + 35 = \mathbf{16L + 16l + 35}\)

b) \(P = 16 \times 1{,}2 + 16 \times 0{,}4 + 35 = 19{,}2 + 6{,}4 + 35 = \mathbf{60{,}60 \text{ euros}}\)

c) On résout \(16L + 16l + 35 = 99\) :
\(16L = 99 - 35 - 16l = 64 - 16l\)
\(\mathbf{L = \dfrac{64 - 16l}{16} = 4 - l}\)
Pour \(l = 0{,}5\) m : \(L = 4 - 0{,}5 = \mathbf{3{,}5 \text{ m}}\)