⚡ Automatismes – Première Bac Pro

➡️ Vecteurs du plan

Mise à jour : 28 avril 2026

Objectif : Maîtriser les opérations sur les vecteurs du plan (coordonnées, somme, produit, norme, milieu, colinéarité) et les appliquer dans des situations concrètes.

📋 Formulaire – Vecteurs du plan

\(\vec{AB}\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}\)Vecteur AB

\(\vec{u}+\vec{v}=\begin{pmatrix}x_1+x_2\\y_1+y_2\end{pmatrix}\)Somme

\(k\cdot\vec{u}=\begin{pmatrix}kx\\ky\end{pmatrix}\)Produit

\(\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}\)Norme

\(I\!\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\)Milieu

\(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires \(\iff x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0\)Colinéarité

Rappel : \(\vec{AB}+\vec{BC}=\vec{AC}\) (relation de Chasles).

🟢 Niveau 1 — Bases

Q1. Quelles sont les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\) avec \(A(1\,;\,3)\) et \(B(4\,;\,7)\) ?

Q2. Calculer \(\vec{u}+\vec{v}\) avec \(\vec{u}(2\,;\,-1)\) et \(\vec{v}(3\,;\,5)\).

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On additionne coordonnée par coordonnée :
\(\vec{u}+\vec{v}=\begin{pmatrix}2+3\\-1+5\end{pmatrix}=\mathbf{(5\,;\,4)}\)

Q3. Le vecteur opposé de \(\vec{u}(3\,;\,-2)\) est…

Q4. Calculer \(3\cdot\vec{u}\) pour \(\vec{u}(2\,;\,-4)\).

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On multiplie chaque coordonnée par 3 :
\(3\cdot\vec{u}=\begin{pmatrix}3\times 2\\3\times(-4)\end{pmatrix}=\mathbf{(6\,;\,-12)}\)

Q5. Le milieu de \(A(2\,;\,6)\) et \(B(8\,;\,4)\) est…

Q6. Calculer la norme de \(\vec{u}(3\,;\,4)\).

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\(\|\vec{u}\|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=\mathbf{5}\)

Q7. Relation de Chasles : \(\vec{AB}+\vec{BC}=\,\)…

Q8. Flash-calcul : répondre mentalement.
a) Coordonnées de \(\vec{BA}\) si \(A(1\,;\,2)\), \(B(5\,;\,3)\) b) \(2\cdot(1\,;\,-3)=\,?\) c) \(\vec{u}+(-\vec{u})=\,?\) d) Milieu de \((0\,;\,0)\) et \((6\,;\,8)\)

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a) \(\vec{BA}=\begin{pmatrix}1-5\\2-3\end{pmatrix}=\mathbf{(-4\,;\,-1)}\)
b) \(2\cdot(1\,;\,-3)=\mathbf{(2\,;\,-6)}\)
c) \(\vec{u}+(-\vec{u})=\mathbf{\vec{0}}\)
d) \(\left(\dfrac{0+6}{2}\,;\,\dfrac{0+8}{2}\right)=\mathbf{(3\,;\,4)}\)

🔵 Niveau 2 — Entraînement

Q1. On donne \(A(-1\,;\,3)\), \(B(2\,;\,-1)\), \(C(5\,;\,3)\). Calculer \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\). Sont-ils colinéaires ?

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\(\vec{AB}=\begin{pmatrix}2-(-1)\\-1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}\)
\(\vec{AC}=\begin{pmatrix}5-(-1)\\3-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6\\0\end{pmatrix}\)

Déterminant : \(3\times 0-(-4)\times 6=0+24=24\neq 0\).
Les vecteurs ne sont pas colinéaires.

Q2. \(\vec{u}(6\,;\,-3)\) et \(\vec{v}(-2\,;\,1)\) sont colinéaires car…

Q3. Trouver les coordonnées de \(D\) pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme, avec \(A(1\,;\,1)\), \(B(4\,;\,2)\), \(C(5\,;\,5)\).

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\(ABCD\) est un parallélogramme si \(\vec{AB}=\vec{DC}\).
\(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4-1\\2-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\)

\(\vec{DC}=\begin{pmatrix}5-x_D\\5-y_D\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\)

Donc \(5-x_D=3\) soit \(x_D=2\), et \(5-y_D=1\) soit \(y_D=4\).
\(D(2\,;\,4)\)

Q4. Quelle est la norme de \(\vec{u}(-5\,;\,12)\) ?

Q5. Vérifier que les points \(A(1\,;\,2)\), \(B(3\,;\,6)\), \(C(5\,;\,10)\) sont alignés.

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\(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3-1\\6-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\)
\(\vec{AC}=\begin{pmatrix}5-1\\10-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\8\end{pmatrix}\)

Déterminant : \(2\times 8-4\times 4=16-16=0\).
Les vecteurs sont colinéaires, donc A, B et C sont alignés.

Q6. \(\vec{AB}+\vec{BA}=\,\)…

Q7. Calculer \(2\vec{AB}-3\vec{AC}\) avec \(A(0\,;\,0)\), \(B(3\,;\,1)\), \(C(1\,;\,4)\).

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\(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}\)

\(2\vec{AB}=\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}\) et \(3\vec{AC}=\begin{pmatrix}3\\12\end{pmatrix}\)

\(2\vec{AB}-3\vec{AC}=\begin{pmatrix}6-3\\2-12\end{pmatrix}=\mathbf{(3\,;\,-10)}\)

Q8. Flash-calcul : répondre mentalement.
a) Norme de \((0\,;\,7)\) b) Déterminant de \((2\,;\,3)\) et \((4\,;\,6)\) c) Milieu de \((-2\,;\,5)\) et \((4\,;\,-1)\) d) \(\vec{AB}\) si \(A(3\,;\,-1)\), \(B(3\,;\,4)\)

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a) \(\|\vec{u}\|=\sqrt{0^2+7^2}=\sqrt{49}=\mathbf{7}\)
b) \(2\times 6-3\times 4=12-12=\mathbf{0}\) (colinéaires)
c) \(\left(\dfrac{-2+4}{2}\,;\,\dfrac{5+(-1)}{2}\right)=\mathbf{(1\,;\,2)}\)
d) \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3-3\\4-(-1)\end{pmatrix}=\mathbf{(0\,;\,5)}\)

🟣 Niveau 3 — Automatisation

Q1. Contexte pro — Un menuisier déplace un meuble par une translation de vecteur \(\vec{u}(3\,;\,2)\) puis une translation de vecteur \(\vec{v}(-1\,;\,4)\).
a) Quel est le vecteur déplacement total ?
b) Quelle est la distance parcourue au total ?

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a) Le vecteur déplacement total est \(\vec{u}+\vec{v}=\begin{pmatrix}3+(-1)\\2+4\end{pmatrix}=\mathbf{(2\,;\,6)}\)

b) La distance totale correspond à la norme du vecteur résultant :
\(\|\vec{u}+\vec{v}\|=\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx\mathbf{6{,}3\text{ unités}}\)

Q2. Les points \(A(1\,;\,1)\), \(B(4\,;\,3)\), \(C(7\,;\,5)\) sont-ils alignés ?

Q3. Trouver \(k\) tel que \(\vec{u}(2\,;\,3)\) et \(\vec{v}(6\,;\,k)\) soient colinéaires.

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Condition de colinéarité : \(x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0\)
\(2\times k - 6\times 3 = 0\)
\(2k - 18 = 0\)
\(2k = 18\)
\(\mathbf{k = 9}\)

Q4. Le point \(M\) tel que \(\vec{AM}=2\vec{AB}\) avec \(A(1\,;\,2)\) et \(B(3\,;\,5)\) a pour coordonnées…

Q5. \(ABCD\) est un parallélogramme avec \(A(-1\,;\,0)\), \(B(3\,;\,2)\), \(D(1\,;\,4)\). Trouver les coordonnées de \(C\).

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\(ABCD\) parallélogramme \(\implies \vec{AB}=\vec{DC}\).
\(\vec{AB}=\begin{pmatrix}3-(-1)\\2-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\)

\(\vec{DC}=\begin{pmatrix}x_C-1\\y_C-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}\)

Donc \(x_C=1+4=5\) et \(y_C=4+2=6\).
\(C(5\,;\,6)\)

Q6. On donne \(\vec{u}=\vec{AB}+\vec{AC}\) avec \(A(0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,0)\), \(C(0\,;\,3)\). Que vaut \(\|\vec{u}\|\) ?

Q7. Montrer que le triangle \(ABC\) avec \(A(0\,;\,0)\), \(B(6\,;\,0)\), \(C(3\,;\,4)\) est isocèle en \(C\).

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On calcule \(CA\) et \(CB\) :
\(\vec{CA}=\begin{pmatrix}0-3\\0-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\-4\end{pmatrix}\), donc \(CA=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=\mathbf{5}\)

\(\vec{CB}=\begin{pmatrix}6-3\\0-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}\), donc \(CB=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=\mathbf{5}\)

\(CA=CB=5\), donc le triangle \(ABC\) est isocèle en \(C\).

Q8. Flash-calcul : répondre rapidement.
a) Déterminant de \((1\,;\,2)\) et \((3\,;\,4)\) b) \(k\cdot(2\,;\,-5)=(-6\,;\,15)\), \(k=\,?\) c) \(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}=\,?\) d) Norme de \((-3\,;\,4)\)

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a) \(1\times 4-2\times 3=4-6=\mathbf{-2}\)
b) \(k\times 2=-6\) donc \(k=\mathbf{-3}\)
c) Par la relation de Chasles : \(\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{CD}=\mathbf{\vec{AD}}\)
d) \(\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=\mathbf{5}\)