⚡ Automatismes – Première Bac Pro

📐 Trigonométrie

Mise à jour : 28 avril 2026

Objectif : Maîtriser les rapports trigonométriques (cosinus, sinus, tangente) dans le triangle rectangle, connaître les valeurs remarquables et savoir convertir degrés/radians.

📋 Formulaire – Trigonométrie

\(\cos(\alpha)=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\)Cosinus

\(\sin(\alpha)=\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\)Sinus

\(\tan(\alpha)=\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\)Tangente

\(\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1\)Relation fondamentale

\(\tan(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\)Lien tan / sin / cos

\(180°=\pi\text{ rad}\)Conversion

Valeurs remarquables :

\(\alpha\)	\(0°\)	\(30°\)	\(45°\)	\(60°\)	\(90°\)
\(\cos(\alpha)\)	\(1\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(0\)
\(\sin(\alpha)\)	\(0\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)

🟢 Niveau 1 — Bases

Q1. \(\cos(60°)=\ldots\)

Q2. \(\sin(30°)=\ldots\)

Q3. Convertir \(90°\) en radians.

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On sait que \(180°=\pi\) rad, donc \(90°=\dfrac{180°}{2}=\dfrac{\pi}{2}\) rad.
Réponse : \(\mathbf{\dfrac{\pi}{2}}\) rad.

Q4. Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit s'appelle…

Q5. Compléter : \(\cos(\alpha) = \dfrac{\ldots}{\text{hypoténuse}}\)

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\(\cos(\alpha) = \dfrac{\textbf{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\)

Q6. \(\tan(45°)=\ldots\)

Q7. Convertir \(\dfrac{\pi}{3}\) rad en degrés.

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On sait que \(\pi\) rad \(= 180°\), donc \(\dfrac{\pi}{3}\) rad \(= \dfrac{180°}{3} = \mathbf{60°}\).

Q8. Flash-calcul : répondre mentalement.
a) \(\sin(0°)\) b) \(\cos(90°)\) c) \(\sin(90°)\) d) \(\cos(0°)\)

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a) \(\sin(0°)=\mathbf{0}\)
b) \(\cos(90°)=\mathbf{0}\)
c) \(\sin(90°)=\mathbf{1}\)
d) \(\cos(0°)=\mathbf{1}\)

🔵 Niveau 2 — Entraînement

Q1. Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 10 cm et un angle vaut \(30°\). Calculer le côté opposé à cet angle.

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On utilise \(\sin(30°)=\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\), donc :
opposé \(= \sin(30°)\times 10 = 0{,}5\times 10 = \mathbf{5\text{ cm}}\)

Q2. Si \(\cos(\alpha)=0{,}6\) et \(\alpha\) est aigu, \(\sin(\alpha)=\ldots\)

Q3. Calculer \(\tan(60°)\) à partir de \(\sin(60°)\) et \(\cos(60°)\).

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\(\tan(60°)=\dfrac{\sin(60°)}{\cos(60°)}=\dfrac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}\approx\mathbf{1{,}73}\)

Q4. Convertir \(150°\) en radians.

Q5. Un toit a une pente de \(35°\). La longueur horizontale est de 6 m. Calculer la hauteur.

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On utilise \(\tan(35°)=\dfrac{\text{hauteur}}{\text{longueur horizontale}}\), donc :
hauteur \(= \tan(35°)\times 6 \approx 0{,}700\times 6 \approx \mathbf{4{,}20\text{ m}}\)

Q6. \(\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=\ldots\)

Q7. Calculer l'angle \(\alpha\) sachant que \(\sin(\alpha)=0{,}5\) (\(\alpha\) aigu).

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D'après le tableau des valeurs remarquables, \(\sin(30°)=0{,}5\).
Donc \(\alpha=\mathbf{30°}\).

Q8. Flash-calcul : répondre mentalement.
a) \(\sin(45°)\) b) \(\cos(30°)\) c) \(\tan(0°)\) d) Convertir \(45°\) en rad

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a) \(\sin(45°)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx\mathbf{0{,}707}\)
b) \(\cos(30°)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx\mathbf{0{,}866}\)
c) \(\tan(0°)=\dfrac{\sin(0°)}{\cos(0°)}=\dfrac{0}{1}=\mathbf{0}\)
d) \(45°=45\times\dfrac{\pi}{180}=\mathbf{\dfrac{\pi}{4}}\) rad

🟣 Niveau 3 — Automatisation

Q1. Contexte pro — Un chevron de charpente fait un angle de \(40°\) avec l'horizontale. Sa longueur est de 5 m. Calculer la portée horizontale et la hauteur.

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Portée horizontale : \(\cos(40°)\times 5 \approx 0{,}766\times 5 \approx \mathbf{3{,}83\text{ m}}\)
Hauteur : \(\sin(40°)\times 5 \approx 0{,}643\times 5 \approx \mathbf{3{,}21\text{ m}}\)

Q2. Si \(\tan(\alpha)=\dfrac{3}{4}\) et \(\alpha\) est aigu, calculer \(\cos(\alpha)\).

Q3. Résoudre \(\cos(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) pour \(x\in[0°\,;\,180°]\).

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D'après le tableau, \(\cos(45°)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Sur \([0°\,;\,180°]\), le cosinus prend aussi cette valeur pour l'angle supplémentaire : \(180°-45°=135°\).
Attention : \(\cos(135°)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\neq\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Donc la seule solution est \(\mathbf{x=45°}\).

Remarque : \(x=135°\) serait solution de \(\cos(x)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

Q4. Un escalier a une pente de \(38°\). Pour une hauteur de 3 m, la longueur du limon est…

Q5. Vérifier que \(\cos^2(30°)+\sin^2(30°)=1\).

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\(\cos^2(30°)+\sin^2(30°)=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{4}=\mathbf{1}\) ✓

Q6. Un conduit coudé fait un angle de \(60°\). Le décalage horizontal sur 2 m de conduit est…

Q7. Déterminer \(\sin(\alpha)\) sachant que \(\cos(\alpha)=\dfrac{3}{5}\) et que \(\alpha\) est aigu. En déduire \(\tan(\alpha)\).

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\(\sin^2(\alpha)=1-\cos^2(\alpha)=1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}\)
Comme \(\alpha\) est aigu, \(\sin(\alpha)=\dfrac{4}{5}=\mathbf{0{,}8}\).

\(\tan(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}=\dfrac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}=\mathbf{\dfrac{4}{3}}\approx 1{,}33\)

Q8. Flash-calcul : répondre rapidement.
a) \(\cos(180°)\) b) \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\) c) \(\tan(90°)\) est-il défini ? d) Convertir \(\dfrac{2\pi}{3}\) en degrés

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a) \(\cos(180°)=\mathbf{-1}\)
b) \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\sin(30°)=\mathbf{\dfrac{1}{2}}=0{,}5\)
c) \(\tan(90°)\) n'est pas défini car \(\cos(90°)=0\) (division par zéro)
d) \(\dfrac{2\pi}{3}\) rad \(=\dfrac{2\times 180°}{3}=\mathbf{120°}\)