⚡ Automatismes – Première Bac Pro

📈 Suites numériques

Mise à jour : 17 avril 2026

Objectif : Reconnaître et manipuler les suites arithmétiques et géométriques — calculer un terme, trouver la raison, modéliser une situation.

📋 Formulaire

Suite arithmétique\(u_n = u_0 + n \times r\)

Suite géométrique\(u_n = u_0 \times q^n\)

Somme arithmétique\(S = n \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}\)

🟢 Niveau 1 — Bases

Q1. La suite \((u_n)\) est définie par : \(u_0 = 3\), \(u_1 = 7\), \(u_2 = 11\), \(u_3 = 15\). Cette suite est-elle arithmétique ?

Q2. Une suite arithmétique a pour premier terme \(u_0 = 5\) et pour raison \(r = 3\). Quel est le terme \(u_1\) ?

Q3. On donne la suite : \(u_0 = 10\), \(u_1 = 6\), \(u_2 = 2\), \(u_3 = -2\). Quelle est la raison \(r\) ?

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On calcule la différence entre deux termes consécutifs :
\(u_1 - u_0 = 6 - 10 = -4\)
\(u_2 - u_1 = 2 - 6 = -4\)
\(u_3 - u_2 = -2 - 2 = -4\)
La différence est constante, donc la suite est arithmétique.
La raison est \(r = -4\).

Q4. Une suite arithmétique a pour premier terme \(u_0 = 2\) et pour raison \(r = 5\). Calculer \(u_4\).

Q5. Flash calculs — Suite arithmétique \(u_0 = 1\), \(r = 6\).
a) \(u_1 = ?\) b) \(u_2 = ?\) c) \(u_3 = ?\) d) \(u_{10} = ?\)

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Formule : \(u_n = u_0 + n \times r = 1 + 6n\)
a) \(u_1 = 1 + 6 \times 1 = \mathbf{7}\)
b) \(u_2 = 1 + 6 \times 2 = \mathbf{13}\)
c) \(u_3 = 1 + 6 \times 3 = \mathbf{19}\)
d) \(u_{10} = 1 + 6 \times 10 = \mathbf{61}\)

Q6. Un artisan menuisier fabrique des moulures. La première semaine, il en produit 12. Chaque semaine, il en produit 5 de plus. Quel est le nombre de moulures produites la 4^e semaine ?

Q7. Un plombier chauffagiste place 500 € sur un livret d'épargne. Chaque mois, il ajoute 500 €. Les termes de la suite donnant le capital sont : \(500\;;\;1\,000\;;\;1\,500\;;\;2\,000\). Cette suite est-elle arithmétique ou géométrique ?

Q8. Une entreprise de menuiserie produit 40 panneaux le premier jour. Chaque jour, elle en produit 6 de plus. Calculer le terme suivant de la suite pour chaque jour.
a) Jour 1 : 40 b) Jour 2 : ? c) Jour 3 : ? d) Jour 4 : ?

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Suite arithmétique avec \(u_0 = 40\) et \(r = 6\). On ajoute 6 à chaque étape :
a) Jour 1 : \(u_0 = \mathbf{40}\)
b) Jour 2 : \(u_1 = 40 + 6 = \mathbf{46}\)
c) Jour 3 : \(u_2 = 46 + 6 = \mathbf{52}\)
d) Jour 4 : \(u_3 = 52 + 6 = \mathbf{58}\)

🔵 Niveau 2 — Entraînement

Q1. Une suite arithmétique vérifie \(u_0 = -3\) et \(r = 4\). Quelle est l'expression de \(u_n\) en fonction de \(n\) ?

Q2. Calculer la somme des 6 premiers termes de la suite arithmétique : \(2\;;\;5\;;\;8\;;\;11\;;\;14\;;\;17\).

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On utilise la formule : \(S = n \times \dfrac{\text{premier} + \text{dernier}}{2}\)

Ici, \(n = 6\) termes, premier terme = 2, dernier terme = 17 :
\(S = 6 \times \dfrac{2 + 17}{2} = 6 \times \dfrac{19}{2} = 6 \times 9{,}5\)
\(S = 57\)

Vérification : \(2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 57\) ✓

Q3. La suite \((v_n)\) est définie par : \(v_0 = 3\), \(v_1 = 6\), \(v_2 = 12\), \(v_3 = 24\). Cette suite est-elle géométrique ?

Q4. Une suite géométrique a pour premier terme \(v_0 = 5\) et pour raison \(q = 3\). Calculer \(v_3\).

Q5. Flash suites — Identifier le type et la raison de chaque suite.
a) \(4\;;\;7\;;\;10\;;\;13\) b) \(2\;;\;10\;;\;50\;;\;250\) c) \(100\;;\;90\;;\;80\;;\;70\)

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a) Différences : \(7-4=3\), \(10-7=3\), \(13-10=3\) → arithmétique, \(r = 3\)
b) Rapports : \(10/2=5\), \(50/10=5\), \(250/50=5\) → géométrique, \(q = 5\)
c) Différences : \(90-100=-10\), \(80-90=-10\), \(70-80=-10\) → arithmétique, \(r = -10\)

Q6. Un technicien de maintenance énergétique note les relevés de consommation d'une chaudière (en kWh) : mois 0 : 800, mois 1 : 760, mois 2 : 720, mois 3 : 680. Quelle est la formule explicite de \(u_n\) ?

Q7. Un installateur de pompes à chaleur place 2 000 € sur un compte rémunéré à 4 % par an (intérêts composés). La suite des capitaux est géométrique de raison \(q = 1{,}04\). Quel est le capital au bout de 5 ans ?

Q8. Une entreprise d'agencement amortit une scie numérique de 10 000 € de façon linéaire sur 5 ans. Donner la formule explicite de la valeur résiduelle \(u_n\) (en euros) après \(n\) années, puis calculer \(u_3\).

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Amortissement linéaire sur 5 ans : chaque année, la machine perd \(\dfrac{10\,000}{5} = 2\,000\) €.

C'est une suite arithmétique avec \(u_0 = 10\,000\) et \(r = -2\,000\).
Formule explicite : \(u_n = 10\,000 - 2\,000n\)

Calcul de \(u_3\) :
\(u_3 = 10\,000 - 2\,000 \times 3 = 10\,000 - 6\,000\)
\(u_3 = 4\,000\) €

🟣 Niveau 3 — Automatisation

Q1. Un menuisier agenceur fabrique des étagères. La première semaine, il en produit 8. Chaque semaine, il en produit 3 de plus que la semaine précédente. Combien d'étagères produit-il la 6^e semaine ?

Q2. Un installateur thermique facture un forfait de 200 € la première année d'entretien d'une chaudière. Chaque année, le tarif augmente de 15 €. Modéliser cette situation par une suite et calculer le tarif la 10^e année.

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On note \(u_n\) le tarif l'année \(n\), avec \(n = 0\) pour la 1^re année.

Modèle : Suite arithmétique avec \(u_0 = 200\) et \(r = 15\).
Terme général : \(u_n = 200 + 15n\)

Tarif la 10^e année (c'est \(u_9\), car la 1^re année est \(u_0\)) :
\(u_9 = 200 + 15 \times 9 = 200 + 135\)
\(u_9 = 335\) €

Q3. Un artisan menuisier achète une machine à 12 000 €. Sa valeur perd 20 % chaque année. Quelle est la valeur de la machine après 3 ans ?

Q4. Un technicien chauffagiste installe des radiateurs dans un immeuble. Il pose 4 radiateurs le 1^er jour, puis 2 de plus chaque jour. Au bout de combien de jours aura-t-il posé au moins 50 radiateurs au total ?

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Nombre de radiateurs posés le jour \(n\) (en partant de \(n = 0\)) :
\(u_n = 4 + 2n\) (suite arithmétique, \(u_0 = 4\), \(r = 2\))

Nombre total après \(n+1\) jours (somme des \(n+1\) premiers termes) :
\(S = (n+1) \times \dfrac{u_0 + u_n}{2} = (n+1) \times \dfrac{4 + (4 + 2n)}{2} = (n+1) \times \dfrac{8 + 2n}{2}\)
\(S = (n+1)(4 + n)\)

On cherche \(n\) tel que \((n+1)(n+4) \geq 50\) :
Pour \(n = 5\) : \(6 \times 9 = 54 \geq 50\) ✓
Pour \(n = 4\) : \(5 \times 8 = 40 < 50\) ✗

Il faut 6 jours (jours 0 à 5) pour poser au moins 50 radiateurs (54 exactement).

Q5. Flash problèmes.
a) Suite arithmétique : \(u_0 = 50\), \(r = -8\). À quel rang \(n\) a-t-on \(u_n = 2\) ?
b) Suite géométrique : \(v_0 = 1\,000\), \(q = 0{,}5\). Calculer \(v_4\).
c) Somme des 5 premiers termes de la suite \(3\;;\;7\;;\;11\;;\;15\;;\;19\).

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a) \(u_n = 50 + n \times (-8) = 50 - 8n\)
\(50 - 8n = 2 \Rightarrow 8n = 48 \Rightarrow n = \mathbf{6}\)

b) \(v_4 = 1\,000 \times 0{,}5^4 = 1\,000 \times 0{,}0625 = \mathbf{62{,}5}\)

c) \(S = 5 \times \dfrac{3 + 19}{2} = 5 \times 11 = \mathbf{55}\)
Vérification : \(3 + 7 + 11 + 15 + 19 = 55\) ✓

Q6. Un technicien climatisation place 3 000 € sur un plan d'épargne entreprise rémunéré à 5 % par an (intérêts composés). Au bout de combien d'années le capital dépasse-t-il 4 000 € ?

Q7. Un fabricant de meubles produit 20 meubles la 1^re semaine, puis augmente sa production de 4 meubles chaque semaine. Quel est le nombre total de meubles produits sur les 8 premières semaines ?

Q8. Un installateur thermique achète un véhicule utilitaire à 25 000 €. Sa valeur diminue de 15 % par an. Modéliser la valeur du véhicule par une suite, donner sa formule explicite, puis calculer sa valeur après 4 ans et la perte totale subie.

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Perdre 15 % par an revient à multiplier par \(1 - 0{,}15 = 0{,}85\).

Modèle : Suite géométrique avec \(v_0 = 25\,000\) et \(q = 0{,}85\).
Formule explicite : \(v_n = 25\,000 \times 0{,}85^n\)

Valeur après 4 ans :
\(v_4 = 25\,000 \times 0{,}85^4 = 25\,000 \times 0{,}522\,006\,25\)
\(v_4 \approx 13\,050{,}16\) €

Perte totale :
\(25\,000 - 13\,050{,}16 = \mathbf{11\,949{,}84}\) €, soit environ 47,8 % de la valeur initiale.