⚡ Automatismes – Première Bac Pro

📈 Fonctions polynômes de degré 2

Mise à jour : 28 avril 2026

Objectif : Maîtriser les fonctions polynômes de degré 2 : identifier les coefficients, calculer le discriminant, déterminer les racines, écrire la forme factorisée et trouver le sommet de la parabole.

📋 Formulaire – Fonctions polynômes de degré 2

\(f(x)=ax^2+bx+c\)Forme développée

\(\Delta=b^2-4ac\)Discriminant

Si \(\Delta>0\) : \(x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)Deux racines

Si \(\Delta=0\) : \(x_0=\dfrac{-b}{2a}\)Racine double

Si \(\Delta<0\) : pas de racine réelleAucune racine

\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\)Forme factorisée

\(x_S=\dfrac{-b}{2a}\)Abscisse du sommet

Rappel : Si \(a>0\), la parabole est ouverte vers le haut (minimum). Si \(a<0\), elle est ouverte vers le bas (maximum).

🟢 Niveau 1 — Bases

Q1. On considère \(f(x)=2x^2-5x+3\). Quels sont les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) ?

Q2. Si \(a>0\), la parabole est ouverte vers…

Q3. On donne \(f(x)=x^2-3x+1\). Calculer \(f(2)\).

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On remplace \(x\) par 2 :
\(f(2)=2^2-3\times 2+1=4-6+1=\mathbf{-1}\)

Q4. On considère \(f(x)=x^2-4x+3\). Que vaut le discriminant \(\Delta\) ?

Q5. Compléter : le nombre de racines réelles d'un polynôme de degré 2 dépend du signe de \(\Delta\).
a) Si \(\Delta>0\) : … racine(s). b) Si \(\Delta=0\) : … racine(s). c) Si \(\Delta<0\) : … racine(s).

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a) Si \(\Delta>0\) : deux racines distinctes.
b) Si \(\Delta=0\) : une racine double.
c) Si \(\Delta<0\) : aucune racine réelle.

Q6. Les racines de \(x^2-5x+6=0\) sont…

Q7. Le sommet de la parabole \(f(x)=x^2-4x+1\) a pour abscisse…

Q8. Flash-calcul : répondre mentalement.
a) \(a\), \(b\), \(c\) de \(3x^2+x-7\) b) \(\Delta\) de \(x^2-6x+9\) c) \(f(0)\) pour \(f(x)=x^2-4\) d) Ouverture de la parabole si \(a=-2\)

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a) \(a=3\), \(b=1\), \(c=-7\)
b) \(\Delta=(-6)^2-4\times 1\times 9=36-36=\mathbf{0}\)
c) \(f(0)=0^2-4=\mathbf{-4}\)
d) \(a=-2<0\), donc la parabole est ouverte vers le bas

🔵 Niveau 2 — Entraînement

Q1. Calculer le discriminant et les racines de \(f(x)=2x^2-8x+6\).

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On a \(a=2\), \(b=-8\), \(c=6\).
\(\Delta=(-8)^2-4\times 2\times 6=64-48=\mathbf{16}\)
\(\Delta>0\), donc il y a deux racines :
\(x_1=\dfrac{-(-8)-\sqrt{16}}{2\times 2}=\dfrac{8-4}{4}=\dfrac{4}{4}=\mathbf{1}\)
\(x_2=\dfrac{-(-8)+\sqrt{16}}{2\times 2}=\dfrac{8+4}{4}=\dfrac{12}{4}=\mathbf{3}\)

Q2. Sur le graphique ci-dessous, une parabole coupe l'axe des abscisses en \(x=1\) et \(x=4\). Quelles sont les racines de la fonction ?

Q3. Écrire la forme factorisée de \(f(x)=x^2-x-6\) sachant que ses racines sont \(-2\) et \(3\).

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On a \(a=1\), \(x_1=-2\) et \(x_2=3\).
La forme factorisée est :
\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)=1\times(x-(-2))(x-3)\)
\(\mathbf{f(x)=(x+2)(x-3)}\)

Q4. On considère \(f(x)=(x-1)(x-3)\). Quel est le signe de \(f(x)\) pour \(x\in\,]1\,;\,3[\) ?

Q5. Factoriser \(x^2-9\) en utilisant l'identité remarquable \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

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On reconnaît \(x^2-9=x^2-3^2\).
En appliquant \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) avec \(a=x\) et \(b=3\) :
\(\mathbf{x^2-9=(x-3)(x+3)}\)

Q6. La parabole \(f(x)=-x^2+2x+3\) est ouverte vers…

Q7. Résoudre \(x^2-4=0\).

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On reconnaît une différence de carrés :
\(x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2)=0\)
Donc \(x-2=0\) ou \(x+2=0\), soit :
\(\mathbf{x=2}\) ou \(\mathbf{x=-2}\)

Q8. Flash-calcul : répondre mentalement.
a) Racines de \((x-5)(x+2)=0\) b) \(\Delta\) de \(x^2+2x+1\) c) Factoriser \(x^2-25\) d) Sommet de \(x^2-6x+5\)

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a) \((x-5)(x+2)=0\) donc \(\mathbf{x=5}\) ou \(\mathbf{x=-2}\)
b) \(\Delta=2^2-4\times 1\times 1=4-4=\mathbf{0}\)
c) \(x^2-25=(x-5)(x+5)\)
d) \(x_S=\dfrac{-(-6)}{2\times 1}=\dfrac{6}{2}=\mathbf{3}\)

🟣 Niveau 3 — Automatisation

Q1. Un artisan calcule son bénéfice (en euros) selon la formule \(B(x)=-2x^2+40x-150\) où \(x\) est le nombre de meubles fabriqués.
a) Calculer \(\Delta\) et les racines.
b) Pour quelles valeurs de \(x\) le bénéfice est-il positif ?

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a) On a \(a=-2\), \(b=40\), \(c=-150\).
\(\Delta=40^2-4\times(-2)\times(-150)=1\,600-1\,200=\mathbf{400}\)
\(\Delta>0\), donc deux racines :
\(x_1=\dfrac{-40-\sqrt{400}}{2\times(-2)}=\dfrac{-40-20}{-4}=\dfrac{-60}{-4}=\mathbf{15}\)
\(x_2=\dfrac{-40+\sqrt{400}}{2\times(-2)}=\dfrac{-40+20}{-4}=\dfrac{-20}{-4}=\mathbf{5}\)

b) Comme \(a=-2<0\), \(B(x)\geq 0\) entre les racines.
Le bénéfice est positif pour \(\mathbf{5\leq x\leq 15}\), c'est-à-dire entre 5 et 15 meubles.

Q2. La forme factorisée de \(2x^2-10x+8\) est…

Q3. Résoudre l'inéquation \(x^2-3x-10\geq 0\).

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On a \(a=1\), \(b=-3\), \(c=-10\).
\(\Delta=(-3)^2-4\times 1\times(-10)=9+40=49\)
\(x_1=\dfrac{3-7}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\) et \(x_2=\dfrac{3+7}{2}=\dfrac{10}{2}=5\)

Comme \(a=1>0\), le polynôme est positif à l'extérieur des racines :
\(\mathbf{x^2-3x-10\geq 0}\) pour \(\mathbf{x\leq -2}\) ou \(\mathbf{x\geq 5}\), soit \(x\in\,]-\infty\,;\,-2]\cup[5\,;\,+\infty[\).

Q4. Combien de solutions a l'équation \(3x^2-2x+5=0\) ?

Q5. Déterminer la forme factorisée de \(f(x)=x^2-2x-8\) puis résoudre \(f(x)=0\).

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On a \(a=1\), \(b=-2\), \(c=-8\).
\(\Delta=(-2)^2-4\times 1\times(-8)=4+32=36\)
\(x_1=\dfrac{2-6}{2}=\dfrac{-4}{2}=-2\) et \(x_2=\dfrac{2+6}{2}=\dfrac{8}{2}=4\)

La forme factorisée est : \(\mathbf{f(x)=(x+2)(x-4)}\)

Les solutions de \(f(x)=0\) sont \(\mathbf{x=-2}\) et \(\mathbf{x=4}\).

Q6. La trajectoire d'un ballon est modélisée par \(h(t)=-5t^2+20t\). La hauteur maximale est atteinte à \(t=\ldots\)

Q7. Contexte pro — L'aire d'un panneau rectangulaire est donnée par \(A(x)=x(10-x)=-x^2+10x\).
a) Pour quelle valeur de \(x\) l'aire est-elle maximale ?
b) Quelle est cette aire maximale ?

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a) On a \(a=-1\), \(b=10\), \(c=0\).
\(x_S=\dfrac{-10}{2\times(-1)}=\dfrac{-10}{-2}=\mathbf{5}\)
L'aire est maximale pour \(x=5\).

b) \(A(5)=-5^2+10\times 5=-25+50=\mathbf{25}\)
L'aire maximale est de 25 unités d'aire.

Q8. Flash-calcul : répondre rapidement.
a) \(\Delta\) de \(4x^2-4x+1\) b) Racines de \(x^2-1=0\) c) Sommet de \(-x^2+6x\) d) Forme factorisée de \(f(x)=x^2-4x+4\)

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a) \(\Delta=(-4)^2-4\times 4\times 1=16-16=\mathbf{0}\)
b) \(x^2-1=(x-1)(x+1)=0\), donc \(\mathbf{x=1}\) ou \(\mathbf{x=-1}\)
c) \(x_S=\dfrac{-6}{2\times(-1)}=\dfrac{-6}{-2}=\mathbf{3}\)
d) \(\Delta=0\), racine double \(x_0=\dfrac{4}{2}=2\), donc \(\mathbf{f(x)=(x-2)^2}\)