📉 Dérivation

Q1. Soit \(f(x) = x^2\). Calculer le taux de variation de \(f\) entre \(x = 1\) et \(x = 3\).

Q2. Sur le graphique d'une fonction \(f\), la tangente au point d'abscisse \(a = 2\) a un coefficient directeur de \(5\). Que vaut \(f'(2)\) ?

Q3. Le nombre dérivé \(f'(a)\) correspond géométriquement à :

Q4. Soit \(f(x) = 3x + 7\). Quelle est la dérivée \(f'(x)\) ?

Q5. Flash taux de variation.
Calculer le taux de variation de chaque fonction entre les valeurs indiquées.
a) \(f(x) = 2x + 1\) entre \(x = 0\) et \(x = 4\)    b) \(g(x) = x^2\) entre \(x = 2\) et \(x = 5\)    c) \(h(x) = -x + 6\) entre \(x = 1\) et \(x = 3\)

Q6. Un technicien chauffagiste relève la température d'un radiateur à deux instants : \(T(2) = 38\,°C\) et \(T(6) = 62\,°C\), où \(t\) est en minutes. Quel est le taux de variation de \(T\) entre \(t = 2\) et \(t = 6\) ?

Q7. Un menuisier découpe des planches. Le coût de découpe (en euros) pour \(x\) planches est \(C(x) = 4x + 15\). Quelle est la dérivée \(C'(x)\) ?

Q8. La consommation d'énergie d'une chaudière (en kWh) est modélisée par \(E(t) = t^2 + 3t\) où \(t\) est le temps en heures.
a) Calculer le taux de variation de \(E\) entre \(t = 1\) et \(t = 4\).
b) Calculer \(E'(t)\), puis \(E'(2)\). Interpréter.

Q1. Soit \(f(x) = x^2 - 3x + 2\). Calculer \(f'(x)\).

Q2. Soit \(f(x) = x^2 + 4x\). Calculer \(f'(2)\).

Q3. Soit \(f(x) = x^2 - 2x + 5\). Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a = 3\).

Q4. Soit \(f(x) = -x^2 + 6x\). On sait que \(f'(x) = -2x + 6\). Pour quelle valeur de \(x\) la tangente est-elle horizontale ?

Q5. Flash dérivées.
Donner la dérivée de chaque fonction.
a) \(f(x) = 5x - 8\)    b) \(g(x) = x^2 + x\)    c) \(h(x) = -3x^2 + 4x - 1\)

Q6. Un installateur thermique modélise la pression \(P\) (en bar) dans un circuit de chauffage par \(P(t) = -t^2 + 8t + 5\), où \(t\) est en heures. On sait que \(P'(t) = -2t + 8\). Quelle est l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(t = 2\) ?

Q7. Un artisan menuisier fabrique des portes sur mesure. Le bénéfice (en euros) pour \(x\) portes vendues est \(B(x) = -x^2 + 12x - 20\) pour \(1 \leq x \leq 10\). On sait que \(B'(x) = -2x + 12\). Pour quelle valeur de \(x\) le bénéfice est-il maximal ?

Q8. Un technicien de maintenance énergétique étudie le rendement \(R\) (en %) d'une pompe à chaleur en fonction du débit d'eau \(d\) (en L/min) : \(R(d) = -2d^2 + 16d + 30\) pour \(0 \leq d \leq 10\).
a) Calculer \(R'(d)\).
b) Pour quel débit le rendement est-il maximal ? Justifier à l'aide du signe de \(R'(d)\).
c) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(d = 2\).

Q1. Un menuisier agenceur fabrique des étagères. Le coût de production (en euros) pour \(x\) étagères est modélisé par \(C(x) = 2x^2 - 20x + 80\) pour \(1 \leq x \leq 12\). Déterminer le nombre d'étagères qui minimise le coût.

Q2. Soit \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) et \(f'(x) = 2x - 6\). Étudier le signe de \(f'(x)\) et en déduire les variations de \(f\) sur \([0\;;\;8]\).

Q3. Un installateur thermique étudie la température \(T\) (en °C) d'un local après la mise en route du chauffage. On modélise : \(T(t) = -t^2 + 10t + 15\) où \(t\) est le temps en heures (\(0 \leq t \leq 10\)). Au bout de combien de temps la température atteint-elle son maximum ? Quelle est cette température ?

Q4. Soit \(f(x) = -2x^2 + 8x + 1\). Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse \(a = 1\), puis déterminer si cette tangente passe par le point \((0\;;\;5)\).

Q5. Flash variations et extremums.
Pour chaque fonction, donner \(f'(x)\), trouver la valeur de \(x\) où \(f'(x) = 0\), et préciser s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum.
a) \(f(x) = x^2 - 4x + 7\)    b) \(g(x) = -x^2 + 2x + 3\)    c) \(h(x) = 3x^2 + 6x - 1\)

Q6. Un fabricant de meubles modélise son profit (en euros) par \(P(x) = -3x^2 + 36x - 60\) où \(x\) est le nombre de meubles produits par jour (\(1 \leq x \leq 10\)). Quel nombre de meubles maximise le profit ?

Q7. Un technicien CVC étudie les pertes thermiques \(L\) (en watts) d'un tuyau en fonction de son diamètre \(d\) (en cm) : \(L(d) = 2d^2 - 16d + 50\) pour \(2 \leq d \leq 10\). On sait que \(L'(d) = 4d - 16\). Quel diamètre minimise les pertes thermiques ? Quelle est la valeur minimale des pertes ?

Q8. Un installateur de pompes à chaleur étudie la puissance consommée \(P\) (en kW) en fonction de la température extérieure \(t\) (en °C) : \(P(t) = 0{,}5t^2 - 6t + 25\) pour \(0 \leq t \leq 15\).
a) Calculer \(P'(t)\) et déterminer pour quelle température la puissance est minimale.
b) Calculer cette puissance minimale.
c) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point \(t = 2\). En déduire une approximation de \(P(2{,}5)\) à l'aide de cette tangente.