⚡ Automatismes – Première Bac Pro

✖️ Algèbre

Mise à jour : 17 avril 2026

Objectif : Résoudre des équations et inéquations du 1er degré, développer et factoriser des expressions algébriques.
📋 Formulaire
\(ax + b = c\)\(x = \frac{c - b}{a}\)
\(ax + b < c\)Attention : si \(a < 0\), on inverse l'inégalité
\((x+a)(x+b)\)\(= x^2 + (a+b)x + ab\)
\(x^2 - a^2\)\(= (x-a)(x+a)\)
🟢 Niveau 1 — Bases

Q1. Résoudre \(3x + 5 = 17\).

Q2. Résoudre \(-2x + 4 = 10\).

Q3. Résoudre l'inéquation \(4x - 3 < 9\).

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\(4x - 3 < 9\)
\(4x < 9 + 3\)
\(4x < 12\)
\(x < 3\)   (on divise par 4, positif, le sens ne change pas)
Solution : \(x < 3\), soit \(]-\infty\;;\;3[\).

Q4. Développer \((x + 3)(x + 5)\).

Q5. Flash équations simples.
a) \(5x = 20\)    b) \(x + 7 = 3\)    c) \(2x - 1 = 9\)    d) \(-x = 6\)

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a) \(x = 20 \div 5 = \mathbf{4}\)
b) \(x = 3 - 7 = \mathbf{-4}\)
c) \(2x = 10\), \(x = \mathbf{5}\)
d) \(x = \mathbf{-6}\)

Q6. Un plombier chauffagiste achète 4 raccords identiques et un joint à 2,50 €. Il paie 18,50 € au total. Quel est le prix d'un raccord ?

Q7. Simplifier l'expression \(5x + 3 - 2x + 7\).

Q8. Un menuisier découpe une planche de longueur \(L\) en deux morceaux. Le premier mesure \(2x + 5\) cm et le second \(3x - 1\) cm. La longueur totale est 74 cm. Trouver \(x\) puis la longueur de chaque morceau.

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Équation : \((2x + 5) + (3x - 1) = 74\)
\(5x + 4 = 74\)
\(5x = 70\)
\(x = \mathbf{14}\)

Longueurs :
Premier morceau : \(2 \times 14 + 5 = \mathbf{33}\) cm
Second morceau : \(3 \times 14 - 1 = \mathbf{41}\) cm
Vérification : \(33 + 41 = 74\) cm ✓
🔵 Niveau 2 — Entraînement

Q1. Factoriser \(x^2 - 9\).

Q2. Résoudre \(-5x + 2 \geq 12\). Attention à l'inversion du signe !

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\(-5x + 2 \geq 12\)
\(-5x \geq 12 - 2\)
\(-5x \geq 10\)
On divise par −5 (négatif → on inverse l'inégalité) :
\(x \leq \frac{10}{-5}\)
Solution : \(x \leq -2\), soit \(]-\infty\;;\;-2]\).

Q3. Développer \((x - 2)(x + 7)\).

Q4. Factoriser \(x^2 - 25\), puis résoudre \(x^2 - 25 = 0\).

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Factorisation : \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5)\)

Résolution : \((x - 5)(x + 5) = 0\)
Un produit est nul si l'un des facteurs est nul :
\(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\)   ou   \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\)
Solutions : \(x = 5\) ou \(x = -5\)

Q5. Flash développer + factoriser.
a) Développer \((x + 1)(x + 4)\)    b) Factoriser \(x^2 - 16\)    c) Développer \((x - 3)(x + 3)\)

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a) \((x+1)(x+4) = x^2 + 4x + x + 4 = \mathbf{x^2 + 5x + 4}\)
b) \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = \mathbf{(x-4)(x+4)}\)
c) \((x-3)(x+3) = x^2 + 3x - 3x - 9 = \mathbf{x^2 - 9}\)

Q6. Un installateur thermique dispose d'un budget maximal de 350 € pour acheter des vannes thermostatiques à 28 € pièce, plus des frais de livraison fixes de 42 €. Combien de vannes peut-il commander au maximum ?

Q7. Résoudre le système :
\(\begin{cases} x + y = 14 \\ x - y = 4 \end{cases}\)

Q8. Un menuisier agenceur fabrique des étagères. Le coût total de fabrication est donné par \(C = 12x + 85\), où \(x\) est le nombre d'étagères. Le prix de vente est \(V = 25x\). Déterminer le nombre minimum d'étagères à vendre pour que le bénéfice soit positif.

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Condition : le bénéfice est positif lorsque \(V > C\), soit :
\(25x > 12x + 85\)
\(25x - 12x > 85\)
\(13x > 85\)
\(x > \frac{85}{13} \approx 6{,}54\)

Comme \(x\) est un nombre entier d'étagères :
Il faut vendre au minimum 7 étagères pour que le bénéfice soit positif.
Vérification : \(V(7) = 175\) € et \(C(7) = 169\) € → bénéfice = 6 € ✓
🟣 Niveau 3 — Automatisation

Q1. Un technicien chauffagiste doit installer un tuyau. La longueur totale est composée de 3 sections égales plus un raccord de 0,8 m. La longueur totale est de 5 m. Quelle est la longueur d'une section ?

Q2. Résoudre simultanément : \(2x + 1 > 5\) et \(3x - 4 < 11\). Donner l'ensemble des solutions commun.

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Inéquation 1 : \(2x + 1 > 5 \Rightarrow 2x > 4 \Rightarrow x > 2\)
Inéquation 2 : \(3x - 4 < 11 \Rightarrow 3x < 15 \Rightarrow x < 5\)

L'ensemble des solutions commun est l'intersection :
\(2 < x < 5\), soit l'intervalle \(]2\;;\;5[\).

Q3. Identifier la forme \(a^2 - b^2\) dans l'expression \(4x^2 - 9\), puis factoriser.

Q4. Développer et réduire : \((3x - 2)(x + 4) - (x^2 + 5x)\).

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Étape 1 — Développer \((3x - 2)(x + 4)\) :
\(= 3x \times x + 3x \times 4 - 2 \times x - 2 \times 4\)
\(= 3x^2 + 12x - 2x - 8\)
\(= 3x^2 + 10x - 8\)

Étape 2 — Soustraire \((x^2 + 5x)\) :
\(= 3x^2 + 10x - 8 - x^2 - 5x\)
\(= (3x^2 - x^2) + (10x - 5x) - 8\)
\(= 2x^2 + 5x - 8\)

Q5. Flash mélanges.
a) Résoudre \(7x - 3 = 18\)    b) Factoriser \(x^2 - 49\)    c) Développer \((x + 6)(x - 6)\)    d) Résoudre \(-3x > 12\)

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a) \(7x = 21\), \(x = \mathbf{3}\)
b) \(x^2 - 49 = x^2 - 7^2 = \mathbf{(x-7)(x+7)}\)
c) \((x+6)(x-6) = \mathbf{x^2 - 36}\)
d) \(-3x > 12 \Rightarrow x < -4\) (inversion car division par négatif) → \(x < -4\)

Q6. Un plombier chauffagiste facture une intervention à 45 € de déplacement plus 32 € par heure de travail. Un client dispose d'un budget de 200 €. Le plombier estime que la réparation nécessite entre 3 et 6 heures. Le client peut-il payer l'intervention dans tous les cas ?

Q7. Un artisan menuisier fabrique des tables et des chaises. Chaque table nécessite 5 planches et chaque chaise nécessite 2 planches. Il dispose de 36 planches et veut fabriquer 3 tables. Mettre en équation puis déterminer le nombre maximal de chaises qu'il peut fabriquer.

Q8. Un technicien de maintenance énergétique compare deux contrats d'entretien de chaudière :
— Contrat A : 120 € fixes par an + 15 € par intervention.
— Contrat B : pas de frais fixes, mais 35 € par intervention.
Déterminer à partir de combien d'interventions le contrat A devient plus avantageux que le contrat B.

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Mise en équation :
Coût A : \(C_A = 120 + 15x\)
Coût B : \(C_B = 35x\)

On cherche quand A est moins cher que B :
\(120 + 15x < 35x\)
\(120 < 35x - 15x\)
\(120 < 20x\)
\(x > 6\)

Le contrat A devient plus avantageux à partir de 7 interventions.
Vérification pour \(x = 7\) : \(C_A = 120 + 105 = 225\) € et \(C_B = 245\) € → A est moins cher ✓
Vérification pour \(x = 6\) : \(C_A = 210\) € et \(C_B = 210\) € → égalité, A n'est pas encore avantageux.