⚡ Automatismes – Terminale Bac Pro

📐 Fonctions polynômes du 2nd degré

Mise à jour : 17 avril 2026

Objectif : Calculer rapidement le discriminant, déterminer le nombre de solutions, lire une courbe, écrire la forme factorisée.
📋 Rappel des formules essentielles
🟢 Niveau 1 — Bases

Q1. Identifier les coefficients a, b et c pour : \(f(x) = 2x^2 - 3x + 5\)

Q2. Calculer \(\Delta\) pour \(f(x) = x^2 - 5x + 4\) (a=1, b=−5, c=4).

Q3. Si Δ = 16 > 0, combien y a-t-il de solutions à f(x) = 0 ?

Q4. Lecture graphique : la parabole ci-dessous coupe l'axe des x. Combien y a-t-il de solutions à f(x) = 0 ?

x y x₁ x₂

Parabole de f(x) = (x+1)(x−2)

Q5. Flash-calcul : calculer Δ pour chaque trinôme.
a) \(x^2 - 4x + 4\)    b) \(x^2 + x + 1\)    c) \(2x^2 - 6x + 4\)

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a) \(\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 16 - 16 = \mathbf{0}\) → une racine double
b) \(\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = 1 - 4 = \mathbf{-3}\) → pas de racine réelle
c) \(\Delta = (-6)^2 - 4 \times 2 \times 4 = 36 - 32 = \mathbf{4}\) → deux racines distinctes

Q6. Calculer le discriminant de \(f(x) = 3x^2 + 6x + 3\). Combien de racines ?

Q7. On donne \(f(x) = x^2 + 6x + 9\). Quel est le signe de \(\Delta\) ?

Q8. Un installateur thermique calcule la perte de charge dans un circuit avec \(P(d) = d^2 - 8d + 15\), où \(d\) est le diamètre du tuyau (en cm). Pour quelles valeurs de \(d\) la perte de charge est-elle nulle ? Calculer \(\Delta\) puis les racines.

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\(a = 1\), \(b = -8\), \(c = 15\)
\(\Delta = (-8)^2 - 4 \times 1 \times 15 = 64 - 60 = 4\)
\(\sqrt{\Delta} = 2\)
\(d_1 = \dfrac{8 - 2}{2} = \mathbf{3}\) cm   et   \(d_2 = \dfrac{8 + 2}{2} = \mathbf{5}\) cm
La perte de charge est nulle pour des diamètres de 3 cm et 5 cm.
🔵 Niveau 2 — Entraînement

Q1. Résoudre \(x^2 - 5x + 4 = 0\).
On a vu que \(\Delta = 9\). Calculer \(x_1\) et \(x_2\).

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\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{9} = 3\)
\(x_1 = \dfrac{-(-5) - 3}{2 \times 1} = \dfrac{5-3}{2} = \dfrac{2}{2} = \mathbf{1}\)
\(x_2 = \dfrac{-(-5) + 3}{2 \times 1} = \dfrac{5+3}{2} = \dfrac{8}{2} = \mathbf{4}\)
Vérification : \((1-1)(1-4) = 0\) ✓ et \((4-1)(4-4) = 0\) ✓

Q2. Résoudre \(x^2 - 4x + 4 = 0\). Combien de solutions ?

Q3. Les racines d'un trinôme sont \(x_1 = -3\) et \(x_2 = 5\), avec \(a = 1\). Écrire la forme factorisée.

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Forme factorisée : \(f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)\)
\(f(x) = 1 \times (x - (-3))(x - 5)\)
\(\mathbf{f(x) = (x + 3)(x - 5)}\)
Vérification : développement donne \(x^2 - 2x - 15\).

Q4. Pour \(f(x) = x^2 + 2x + 5\), calculer Δ et conclure.

Q5. La parabole \(f(x) = 2(x-1)(x+3)\) coupe l'axe des x en quels points ?

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La forme factorisée permet de lire directement les racines :
\(f(x) = 0 \Leftrightarrow (x - 1) = 0\) ou \((x + 3) = 0\)
Racines : x₁ = 1 et x₂ = −3
La parabole coupe l'axe des x aux points (1 ; 0) et (−3 ; 0).

Q6. Quelle est la forme factorisée de \(f(x) = x^2 - 7x + 10\) ?

Q7. On donne \(f(x) = -(x + 1)(x - 5)\). Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) > 0\) ?

Q8. Un menuisier agenceur doit poser un plan de travail. La flèche (courbure en mm) est modélisée par \(f(x) = -x^2 + 6x - 8\), avec \(x\) en mètres. Résoudre \(f(x) = 0\), puis donner la forme factorisée et indiquer sur quel intervalle la flèche est positive.

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\(a = -1\), \(b = 6\), \(c = -8\)
\(\Delta = 36 - 32 = 4\), \(\sqrt{\Delta} = 2\)
\(x_1 = \dfrac{-6 - 2}{-2} = \dfrac{-8}{-2} = \mathbf{4}\)   et   \(x_2 = \dfrac{-6 + 2}{-2} = \dfrac{-4}{-2} = \mathbf{2}\)
Forme factorisée : \(f(x) = -(x - 2)(x - 4)\)
Comme \(a = -1 < 0\), \(f(x) > 0\) entre les racines.
La flèche est positive pour \(2 < x < 4\) (entre 2 m et 4 m).
🟣 Niveau 3 — Automatisation

Q1. Résoudre complètement \(3x^2 - 6x + 3 = 0\).

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a=3, b=−6, c=3
\(\Delta = (-6)^2 - 4 \times 3 \times 3 = 36 - 36 = 0\)
Racine double : \(x_0 = \dfrac{6}{2 \times 3} = 1\)
Forme factorisée : \(f(x) = 3(x - 1)^2\)

Q2. Flash-calcul : pour chaque trinôme, donner sans calcul détaillé le nombre de solutions (0, 1 ou 2).
a) \(x^2 - 10x + 25\)   b) \(x^2 + x - 6\)   c) \(x^2 + 4\)

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a) \(\Delta = 100 - 100 = 0\) → 1 solution (racine double x₀ = 5)
b) \(\Delta = 1 + 24 = 25 > 0\) → 2 solutions (x₁ = 2, x₂ = −3)
c) \(\Delta = 0 - 16 = -16 < 0\) → 0 solution réelle

Q3. Résoudre \(2x^2 + 5x - 3 = 0\).

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a=2, b=5, c=−3
\(\Delta = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{\Delta} = 7\)
\(x_1 = \dfrac{-5-7}{4} = \dfrac{-12}{4} = \mathbf{-3}\)
\(x_2 = \dfrac{-5+7}{4} = \dfrac{2}{4} = \mathbf{0{,}5}\)
Forme factorisée : \(f(x) = 2(x + 3)(x - 0{,}5)\)

Q4. Une entreprise modélise son bénéfice par \(B(x) = -x^2 + 8x - 12\) où x est la quantité (en centaines) vendue. Pour quelles valeurs de x le bénéfice est-il nul ?

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a=−1, b=8, c=−12
\(\Delta = 64 - 48 = 16\), \(\sqrt{\Delta} = 4\)
\(x_1 = \dfrac{-8-4}{-2} = \dfrac{-12}{-2} = \mathbf{6}\)
\(x_2 = \dfrac{-8+4}{-2} = \dfrac{-4}{-2} = \mathbf{2}\)
Le bénéfice est nul pour x = 2 (200 unités) et x = 6 (600 unités).
Le bénéfice est positif pour 2 < x < 6.

Q5. Reconnaître : laquelle de ces expressions est la forme factorisée de \(x^2 - x - 6\) ?

Q6. Le bénéfice mensuel (en euros) d'un artisan menuisier est modélisé par \(B(x) = -2x^2 + 20x - 32\), où \(x\) est le nombre de meubles vendus. Pour quelles valeurs de \(x\) le bénéfice est-il positif ?

Q7. La hauteur d'un ballon lancé en l'air est modélisée par \(h(t) = -5t^2 + 20t + 1{,}5\) (en mètres), où \(t\) est le temps (en secondes). Résoudre \(h(t) = 0\) pour déterminer quand le ballon touche le sol.

Q8. Un technicien chauffagiste dimensionne un échangeur thermique. La puissance échangée (en kW) est modélisée par \(P(x) = -3x^2 + 24x - 36\), où \(x\) est le débit (en m³/h). Résoudre \(P(x) = 0\), donner la forme factorisée, puis déterminer le débit qui maximise la puissance et la valeur de ce maximum.

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\(a = -3\), \(b = 24\), \(c = -36\)
\(\Delta = 576 - 432 = 144\), \(\sqrt{\Delta} = 12\)
\(x_1 = \dfrac{-24 + 12}{-6} = \dfrac{-12}{-6} = \mathbf{2}\)   et   \(x_2 = \dfrac{-24 - 12}{-6} = \dfrac{-36}{-6} = \mathbf{6}\)
Forme factorisée : \(P(x) = -3(x - 2)(x - 6)\)
Le maximum est atteint au sommet : \(x_S = \dfrac{2 + 6}{2} = 4\) m³/h
\(P(4) = -3(4-2)(4-6) = -3 \times 2 \times (-2) = \mathbf{12}\) kW
La puissance maximale est de 12 kW pour un débit de 4 m³/h.