⚡ Automatismes – Terminale Bac Pro

📉 Dérivation

Mise à jour : 17 avril 2026

Objectif : Calculer instantanément la dérivée d'une fonction polynôme, reconnaître une dérivée dans un QCM, calculer f'(a) et interpréter le signe de f'.
📋 Tableau des dérivées à connaître
\(f(x) = c\) (constante)\(f'(x) = 0\)
\(f(x) = x\)\(f'(x) = 1\)
\(f(x) = x^2\)\(f'(x) = 2x\)
\(f(x) = x^3\)\(f'(x) = 3x^2\)
\(f(x) = x^n\)\(f'(x) = nx^{n-1}\)
\(f(x) = ax\)\(f'(x) = a\)

Règle d'addition : \((u + v)' = u' + v'\)  |  \((ku)' = k \cdot u'\)

🟢 Niveau 1 — Bases

Q1. Quelle est la dérivée de \(f(x) = x^2\) ?

Q2. Quelle est la dérivée de \(f(x) = 7\) (une constante) ?

Q3. Dériver \(f(x) = 3x\).

Q4. Dériver \(f(x) = 5x^2\).

Voir la réponse
\((5x^2)' = 5 \times (x^2)' = 5 \times 2x\)
\(\mathbf{f'(x) = 10x}\)

Q5. Flash-calcul : dériver mentalement chaque fonction.
a) \(f(x) = x^3\)    b) \(f(x) = 4x\)    c) \(f(x) = 2x^2\)    d) \(f(x) = 10\)

Voir la réponse
a) \(f'(x) = 3x^2\)
b) \(f'(x) = 4\)
c) \(f'(x) = 4x\)
d) \(f'(x) = 0\)

Q6. Quelle est la dérivée de \(f(x) = 6x^2\) ?

Q7. Quelle est la dérivée de \(f(x) = x^3 + 5\) ?

Q8. Un installateur thermique modélise la longueur de tuyau utilisée par \(L(x) = 4x^2 + 3x\) (en mètres), où \(x\) est le nombre de radiateurs. Calculer \(L'(x)\).

Voir la réponse
\((4x^2)' = 8x\) et \((3x)' = 3\)
\(\mathbf{L'(x) = 8x + 3}\)
🔵 Niveau 2 — Entraînement

Q1. Dériver \(f(x) = 3x^2 + 2x - 1\).

Q2. Dériver \(g(x) = x^3 - 4x + 5\).

Voir la réponse
\((x^3)' = 3x^2\)   \((-4x)' = -4\)   \((5)' = 0\)
\(\mathbf{g'(x) = 3x^2 - 4}\)

Q3. Calculer f'(2) pour \(f(x) = 3x^2 + 2x - 1\).
(On a trouvé \(f'(x) = 6x + 2\) ci-dessus.)

Q4. Parmi les propositions, laquelle est la dérivée de \(f(x) = 4x^3 - x^2 + 3\) ?

Q5. Flash-calcul : dériver rapidement chaque fonction.
a) \(f(x) = x^2 - 5x + 4\)    b) \(f(x) = 2x^3 + 3x\)    c) \(f(x) = -x^2 + 4\)

Voir la réponse
a) \(f'(x) = 2x - 5\)
b) \(f'(x) = 6x^2 + 3\)
c) \(f'(x) = -2x\)

Q6. Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de \(f(x) = x^2 - 3x + 2\) au point d'abscisse \(x = 1\) ?

Q7. \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\). Calculer \(f'(x)\), puis résoudre \(f'(x) = 0\). La fonction admet-elle un maximum ou un minimum ?

Q8. Un menuisier agenceur modélise la hauteur (en cm) d'une arche par \(h(x) = -2x^2 + 12x\), où \(x\) est la distance horizontale (en m). Calculer \(h'(x)\) et déterminer pour quelle valeur de \(x\) la hauteur est maximale. Quelle est cette hauteur ?

Voir la réponse
\(h'(x) = -4x + 12\)
\(h'(x) = 0 \Rightarrow -4x + 12 = 0 \Rightarrow x = 3\)
\(h(3) = -2 \times 9 + 12 \times 3 = -18 + 36 = 18\)
La hauteur maximale est de 18 cm, atteinte à \(x = 3\) m.
🟣 Niveau 3 — Automatisation

Q1. \(f(x) = x^2 - 4x + 3\). Calculer f'(x), puis déterminer le signe de f'(x). Que peut-on en déduire sur les variations de f ?

Voir la réponse
\(f'(x) = 2x - 4\)
\(f'(x) = 0 \Rightarrow 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2\)
f'(x) < 0 pour x < 2 : f est décroissante sur ] −∞ ; 2 [
f'(x) > 0 pour x > 2 : f est croissante sur ] 2 ; +∞ [
x = 2 est le minimum de f.

Q2. Pour \(g(x) = -2x^2 + 8x\), calculer g'(x) et trouver la valeur de x pour laquelle g'(x) = 0. Que représente ce point ?

Voir la réponse
\(g'(x) = -4x + 8\)
\(g'(x) = 0 \Rightarrow -4x + 8 = 0 \Rightarrow x = 2\)
En x = 2 : g(2) = −8 + 16 = 8
Ce point est le maximum de g (car a = −2 < 0, la parabole est tournée vers le bas).

Q3. On sait que \(f'(x) = 3x^2 - 6\). Pour quelle(s) valeur(s) de x est-on en x = 0 pour f' (c'est-à-dire f'(x) = 0) ?

Q4. Flash-dérivation : donner f'(x) puis calculer f'(0) et f'(1) pour :
a) \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\)    b) \(f(x) = x^3 - x\)

Voir la réponse
a) \(f'(x) = 4x - 3\)
\(f'(0) = -3\)   \(f'(1) = 4 - 3 = 1\)

b) \(f'(x) = 3x^2 - 1\)
\(f'(0) = -1\)   \(f'(1) = 3 - 1 = 2\)

Q5. Reconnaître. Quelle fonction a pour dérivée \(f'(x) = 6x - 4\) ?

Q6. Un technicien chauffagiste modélise le rendement d'une chaudière par \(R(T) = -0{,}5T^2 + 40T - 200\), où \(T\) est la température de consigne (en °C). Pour quelle température le rendement est-il maximal ?

Q7. On fabrique une boîte ouverte en découpant des carrés de côté \(x\) dans une plaque de 20 cm par 20 cm. Le volume est \(V(x) = x(20 - 2x)^2 = 4x^3 - 80x^2 + 400x\). On a \(V'(x) = 12x^2 - 160x + 400\). Quelle valeur de \(x\) maximise le volume ?

Q8. Un menuisier agenceur modélise le coût de production (en euros) de \(x\) étagères par \(C(x) = 2x^3 - 30x^2 + 150x + 100\). Calculer \(C'(x)\), résoudre \(C'(x) = 0\) et déterminer pour combien d'étagères le coût admet un minimum local.

Voir la réponse
\(C'(x) = 6x^2 - 60x + 150 = 6(x^2 - 10x + 25) = 6(x - 5)^2\)
\(C'(x) = 0 \Rightarrow x = 5\)
Comme \(C'(x) = 6(x-5)^2 \geq 0\) pour tout \(x\), la fonction est toujours croissante (sauf en \(x = 5\) où \(C'(5) = 0\)).
En \(x = 5\), le coût admet un point d'inflexion (pas un extremum local).
\(C(5) = 250 - 750 + 750 + 100 = 350\) euros.